Question

【題目】 如圖，在平面直角坐標系中，點A和點B分別在x軸和y軸的正半軸上，OA=3，OB=2OA，C為直線y=2x與直線AB的交點，點D在線段OC上，OD=．

（1）求點C的坐標；

（2）若P為線段AD上一動點（不與A、D重合）．P的橫坐標為x，△POD的面積為S，請求出S與x的函數關系式；

（3）若F為直線AB上一動點，E為x軸上一點，是否存在以O、D、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點C坐標為（，3）；（2）S =x-；（3）存在，點F的坐標為（2，2）或（4，-2）．

【解析】

（1）根據題意求出A、B的坐標再求直線AB解析式，把直線AB與直線OC的方程聯立方程組，求得的解即為點C坐標．

（2）由OD=及點D在直線y=2x上求得點D坐標，進而求得直線AD解析式，得到點P縱坐標的表示，用x表示△AOP的面積．利用S等于△AOD與△AOP面積差即求得S與x的函數關系式．

（3）由于OD是固定的，所以以OD為平行四邊形的邊或對角線作為分類討論的依據．畫圖即得到點F的縱坐標與點D縱坐標相等或互為相反數，把縱坐標代入直線AB解析式即求得F的橫坐標．

解：（1）∵OA=3，點A和點B分別在x軸和y軸的正半軸上

∴A（3，0），OB=3OA=6

∴B（0，6）

設直線AB解析式為：y=kx+b

∴解得：

∴直線AB解析式為：y=-2x+6

∵解得：

∴點C坐標為（，3）

（2）過點D作DG⊥x軸于點G，過點P作PH⊥x軸于點H

∵點D在線段OC上，直線OC解析式為y=2x

∴設點D（d，2d）（0＜d＜）

∴OD=

∴d=1

∴D（1，2），DG=2

設直線AD解析式為：y=ax+c

∴解得：

∴直線AD解析式為：y=-x+3

∵點P在線段AD上，且橫坐標為x

∴OH=x，PH=yP=-x+3

∴S=S△AOD-S△AOP=OADG-OAPH=OA（DG-PH）=×3×（2+x-3）=x-

（3）存在以O、D、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形．

①當OD為平行四邊形的邊時，如圖2，

∴|yF|=yD=2

∵|-2x+6|=2解得：x1=2，x2=4

∴F（2，2）或（4，-2）

②當OD為平行四邊形的對角線時，如圖3，

∴DF∥x軸，yF=yD=2

∴F（2，2）

綜上所述，點F的坐標為（2，2）或（4，-2）．