Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E在邊AD上(不與A，D重合)，點F在邊CD上，且∠EBF=45°，若△ABE的外接圓⊙O與CD邊相切．

(1)求⊙O的半徑長；

(2)求△BEF的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）將△BCF繞點B逆時針旋轉90°到△BAP，過點B作BQ⊥EF，設⊙O與CD相切于點M，連接OM，延長MO交AB于點N，由已知得出△BPE≌△BFE，進而得出△AEB≌△QEB，利用中位線出AE的長，由勾股定理求出BE，即可得出半徑；
（2）由C△EFD=4，利用勾股定理得出DF的長，即可求出△BEF的面積．

解：（1）將△BCF繞點B逆時針旋轉90°到△BAP，過點B作BQ⊥EF，設⊙O與CD相切于點M，連接OM，延長MO交AB于點N，如圖所示：

在△BPE與△BFE中， ，

∴△BPE≌△BFE（SAS），

∴∠AEB=∠BEQ，PE=EF，

在△AEB和△QEB中， ，

∴△AEB≌△QEB（AAS），

∴BQ=AB=2，

由PE=EF可知，

C△EFD=ED+DF+EF=ED+DF+PE=ED+DF+PA+AE=ED+AE+DF+FC=4，

設AE=a，則DE=2﹣a，BE= ，

∵O為BE中點，且MN∥AD，

∴ON=AE= ，

∴OM=2﹣，

又BE=2OM，

∴=4﹣a，解得a= ，

∴ED=，BE= = ，

∴⊙O的半徑長=BE= ；

（2）∵C△EFD=4，設DF=b，

∴EF=4﹣b﹣=﹣b，

在Rt△EDF中，（）2+b2=（﹣b）2，

解得b= ，

∴EF=﹣= ，

∴S△BEF=××2=．