Question

【題目】知識鏈接：將兩個含30°角的全等三角尺放在一起，讓兩個30°角合在一起成60°，經過拼湊、觀察、思考，探究出“直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”結論．

如圖：等邊三角形ABC的邊長為4cm，點D從點C出發沿CA向A運動，點E從B出發沿AB的延長線BF向右運動，已知點D、E都以每秒0.5cm的速度同時開始運動，運動過程中DE與BC相交于點P，設運動時間為x秒．

（1）請直接寫出AD長．（用x的代數式表示）

（2）當△ADE為直角三角形時，運動時間為幾秒？

（2）求證：在運動過程中，點P始終為線段DE的中點．

Answer 1

【答案】（1）AD=4-0.5x；（2）；（3）證明見解析．

【解析】試題分析：（1）直接根據AD=AC-CD求解；（2）設x秒時，△ADE為直角三角形，分別用含x的式子表示出AD和AE，再根據Rt△ADE中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得出x的方程，求解即可；（3）作DG∥AB交BC于點G，證△DGP≌△EBP便可得.

解：（1）由AC=4，CD=0.5x，得AD=AC-CD=4-0.5x；

（2）∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC=AC=4cm，∠A=∠ABC=∠C=60°．

設x秒時，△ADE為直角三角形，

∴∠ADE=90°，CD=0.5x，BE=0.5x，AD=4-0.5x，AE=4+0.5x，

∴∠AED=30°，∴AE=2AD，

∴4+0.5x=2（4-0.5x），∴x=.

答：運動秒后，△ADE為直角三角形；

（3）作DG∥AB交BC于點G，

∴∠GDP=∠BEP，∠CDG=∠A=60°，∠CGD=∠ABC=60°，

∴∠C=∠CDG=∠CGD，

∴△CDG是等邊三角形，∴DG=DC，

∵DC=BE，∴DG=BE．

在△DEP和△EBP中，∠GDP＝BEP，∠DPG＝∠EPB，DG＝EB，

∴△DGP≌△EBP，∴DP=PE．

∴在運動過程中，點P始終為線段DE的中點．