Question

【題目】如圖，在中，，，點為邊上一點，且AD=3cm，動點從點出發沿線段向終點運動．作，與邊相交于點．

找出圖中的一對相似三角形，并說明理由；

當為等腰三角形時，求的長；

求動點從點出發沿線段向終點運動的過程中點的運動路線長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的長為或或；（3）cm.

【解析】

(1)由等腰直角三角形的性質得出∠A＝∠B＝45°由三角形的外角性質和已知條件證出∠ADE＝∠BEF，即可得出結論；

(2)分三種情況：①若EF＝BF，由相似三角形的性質和勾股定理求出AE＝DE＝即可；

②若EF＝BE，由相似三角形的性質和勾股定理求出AE即可；

③若BF＝BE，則∠FEB＝∠EFB，由△ADE∽△BEF得出AE＝AD＝3即可．

(3)由（1）得出△ADE∽△BEF，得到，得出是的二次函數，即可得出結果．

解：，理由如下：

∵在中，，，

∴，

∵，，

∴，

∴；

分三種情況

①如圖，若，則，

又∵，

∴，

∴，

∴；

②如圖，若，則

又∵，

∴，

∴，

∴；

③如圖，若，則

又∵，

∴，

∴．

綜上所述，當為等腰三角形時，的長為或或．

設，長為．

∵在中，，．

∴，，

由得：，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴當時，有最大值，

∵從運動的過程中可以得出點運動的路程正好是，

∴點運動路程為．