Question

【題目】如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過B點作BF∥AC，過C點作CF∥BD，BF與CF相交于點F．

（1）求證：四邊形BFCO是菱形；

（2）連接OF、DF，若AB＝2，tan∠OFD＝，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）先證明四邊形OBFC是平行四邊形，然后根據矩形的性質可知OB＝OC，從而得證．

（2）連接FO并延長交AD于H，交BC于K，根據矩形、菱形的判定與性質可求出AB與BC的長度，根據勾股定理可求出AC的值．

解：（1）∵BF∥AC，CF∥BD，

∴四邊形OBFC是平行四邊形，

∵矩形ABCD，

∴

∴OB＝OC，

∴四邊形OBFC是菱形．

（2）如圖，連接FO并延長交AD于H，交BC于K，

∵菱形OBFC，

∴∠BKO＝90°，

∵矩形ABCD，

∴∠DAB＝∠ABC＝90°，OA＝OD，

∴四邊形ABKH是矩形，

∴∠DHF＝90°，HK＝AB＝2，

∴H是AD中點，

∵O是BD中點，

∴OH＝，

∴FK＝OK＝OH＝1，

∴HF＝3，

∵tan∠OFD＝，

∴HD＝AH＝2，

∴BC＝AD＝4，

由勾股定理得：．