Question

已知，如圖，拋物線y=x²+px+q與x軸相交于A、B兩點，與y軸交于點C，且OA≠OB，OA=OC，設拋物線的頂點為點P，直線PC與x軸的交點D恰好與點A關于y軸對稱．
（1）求p、q的值．
（2）在題中的拋物線上是否存在這樣的點Q，使得四邊形PAQD恰好為平行四邊形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）連接PA、AC．問：在直線PC上，是否存在這樣點E（不與點C重合），使得以P、A、E為頂點的三角形與△PAC相似？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出點C、D和A的坐標，后根據直線PC與x軸的交點D恰好與點A關于y軸對稱列方程組求解；
（2）假設存在這樣的Q點，再通過求解四邊形PAQD的邊AQ和PD的關系說明假設不成立；
（3）先假設存在滿足條件的點E，先求出直線AE的解析式，E點即是AE和CD的交點，最后證明△PAE與△PAC相似．

解答：解：（1）在拋物線y=x²+px+q中，
當x=0時，y=q．即：C點的坐標為（0，q）．
因為：OA=OC，D點與A點關于y軸對稱．
所以：A點的坐標為（q，0）；D點的坐標為（-q，0）．
將A（q，0）代入y=x²+px+q中得：0=q²+pq+q
即：q（q+p+1）=0
所以：q=0，（不符合題意，舍去．）
      q+p=-1   ①
現在求點P的坐標，即拋物線y=x²+px+q頂點的坐標：
橫坐標：-

p

2

；縱坐標：

4q-p2

4

，
設直線CD的方程為y=kx+b
因為直線CD過C（0，q）、D（-q，0）兩點，所以有方程組
q=b，0=-qk+b．
解得：k=1，b=q．
所以直線CD的解析式為：y=x+q．
因為點P在直線CD上，
所以

4q-p2

4

=-

p

2

+q
解得：p=0（不符合題意，舍去）
       p=2   ②
又已經求得的①、②兩等式得：p=2，q=-3．
因此；p、q的值分別為 2和-3．

 （2）∵p=2，q=-3．
∴拋物線的解析式為y=x²+2x-3，
A、D、C、P四點的坐標分別為（-3，0）、（3，0）、（0，-3）、（-1，-4）．
直線CD的方程式為y=x-3，
設：過A點與直線CD平行的直線AQ的方程為：
        y=x+b（因兩直線平行，所以一次項系數相等）
因為點A（-3，0）在直線AQ上，將其代入y=x+b中得：0=-3+b，解得：b=3
所以：直線AQ的方程為：y=x+3
下面求直線AQ（y=x+3）與拋物線y=x²+2x-3的交點Q的坐標：
 解方程組y=x²+2x-3，y=x+3．得x₁=2，y₁=5；x₂=-3，y₂=0．
即：兩交點為A（-3，0）；Q（2，5）．
下面再求A、Q兩點距離和P、D兩點距離：從圖形可知
|AQ|=5

2

，|PD|=4

2

，
所以|AQ|≠|PD|
這說明AQ與PD不相等，所以在拋物線上不存在滿足四邊形APDQ是平行四邊形的Q點．

 （3）存在E點，且E點坐標為（9，6）．
具體求解過程如下：
設E點是直線PC上的點，且滿足AE垂直AP
求直線AP的方程，設直線AP的方程為y=kx+b
因為A（-3，0），P（-1，-4）兩點在直線AP上，所以有方程組
  0=-3k+b，-4=-k+b．解得：k=-2，b=-6．
所以直線AP的方程式為：y=-2x-6
因為直線AE垂直直線AC，所以兩直線一次項系數之積等于-1
所以，設直線AE方程式為y=

1

2

x+b
A（-3，0）點在直線AE上，所以b=

3

2

，
所以直線AE的方程式為y=

1

2

x+

3

2

，
直線AE與直線CD相交于E點，解兩直線方程組成的方程組得：x=9，y=6．
即E點的坐標為（9，6）．
在三角形ACD中，因為OA=OD=OC，AD垂直CO，
所以∠ACD是直角，
在直角三角形APE中，AC是斜邊PE上的高，
所以△APC∽△EPA．

點評：本題考查了二次函數的知識，難度較大，注意各部分知識的熟練掌握與靈活運用．