Question

【題目】如圖所示，在坐標平面內，點O是坐標原點，A（0，6）、B（2，0），且∠OBA＝60°，將△OAB沿直線AB翻折，得到△CAB，點O與點C對應。

（1）求點C的坐標；

（2）動點F從點O出發，以2個單位長度/秒的速度沿折線O—A—C向終點C運動，設△FOB的面積為S（S≠0），點F的運動時間為t秒，求S與t的關系式，并直接寫出t的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，過點B作x軸垂線，交AC于點E，在點F的運動過程中，當t為何值時，△BEF是以BE為腰的等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）C(3,3)；(2)當0<t3時，S=；當3<t6時，S= (3) t=1或t=3時，△BEF是以BE為腰的等腰三角形.

【解析】

（1）連接OC，過C點作CH⊥x軸于H點，易證△OAC是等邊三角形，則OC=OA，在直角△OCH中，求得CH和OH，則C的坐標即可求得；

（2）分成當0<t≤3和3<t≤6兩種情況，利用三角形的面積公式即可求解；

（3）分B是頂角頂點和E是頂角頂點兩種情況進行討論．

(1)連接OC，過C點作CH⊥x軸于H點

∵折疊△OAB，

∴OA=AC,∠OBA=∠CBA=60°,OB=CB,∠CBH=60°

∴△OAC是等邊三角形

∴∠BCH=30°

∴BH=BC=×2=,OH=2+=3，

∵OC=OA=6,∠COH=30°

∴CH=×6=3.

∴C(3,3)；

(2)當0<t3時：

OF=2t,S=；

當3<t6時：點F在AC上，

過點F作FG⊥y軸于G，連結OF，BF，

由運動知，AF＝2t6，

由折疊知，∠OAC＝2∠OAB＝60°

∴AG＝t3，OG＝6（t3）＝9t，

S＝OB×OG＝＝9-t；

(3)如圖

∵BE∥OA

∴∠ABE=∠OAB=30°

∴∠EBC=30°

∴CE=BE，BE=AE

∴BE=4.

當E是頂角頂點時，

∵∠ABE=30°,∠BAC=30°，則當F運動到A點時，△BEF為等腰三角形，即t=3；

當B是頂角頂點時,即BF=BE時,△BOF≌△BCE，

∴OF=CE=2

∴t=1.

此時，△BEF為等邊三角形。

綜上所述，t=1或t=3時，△BEF是以BE為腰的等腰三角形.