Question

【題目】一個四邊形被一條對角線分割成兩個三角形，如果被分割的兩個三角形相似，我們把這條對角線稱為該四邊形的為相似對角線。

(1)如圖1，正方形ABCD的邊長為4，E為AD的中點，AF=1，連結CE，CF，求證：EF為四邊形AECF的相似對角線。

(2)在四邊形ABCD中,∠BAD=120°,AB=3,AC=，AC平分∠BAD，且AC是四邊形ABCD的相似對角線，求BD的長。

(3)如圖2,在矩形ABCD中,AB=6,BC=4,點E是線段AB(不取端點A,B)上的一個動點,點F是射線AD上的一個動點,若EF是四邊形AECF的相似對角線,求BE的長.(直接寫出答案)

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）3或． （3）或3

【解析】

（1）如圖1中，只要證明△AEF∽△ECF即可解決問題；
（2）如圖2、圖3中，AC是四邊形ABCD的相似對角線，有兩種情形：①如圖2中，△ACB≌△ACD時．②如圖3中，當△ACD∽△ABC時，分別求解即可；
（3）分三種情形①如圖4中，當△AEF和△CEF關于EF對稱時，EF是四邊形AECF的相似對角線．②如圖5中，如圖取AD中點F，連接CF，將△CFD沿CF翻折得到△CFD′，延長CD′交AB于E，易證EF是四邊形AECF的相似對角線．③如圖6中，取AB的中點E，連接CE，作EF⊥AD于F，延長CB交FE的延長線于M，則易證EF是四邊形AECF的相似對角線．此時BE=3；

（1）如圖1中，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，
∵AE=DE=2，AF=1，
∴，
∵∠A=∠D=90°，
∴△AEF∽△DCE，
∴∠AEF=∠DCE，，
∵∠DCE+∠CED=90°，
∴∠AEF+∠CED=90°，
∴∠FEC=∠A=90°，
∵，
∴，
∴△AEF∽△ECF，
∴EF為四邊形AECF的相似對角線．
（2）如圖2中，

∵AC是四邊形ABCD的相似對角線，
∴有兩種情形：
①如圖2中，△ACB≌△ACD時，∵AB=AD=3，BC=CD，
∴AC垂直平分DB，
在Rt△AOB中，∵AB=3，∠ABO=30°，
∴BO=ABcos30°=，
∴BD=2OB=3．
②如圖3中，當△ACD∽△ABC時，可得AC2=ABAD，
∴6=3AD，
∴AD=2，
在Rt△ADH中，∵∠HAD=60°，AD=2，
∴AH=AD=1，DH=AH=，
在Rt△BDH中，BD=．

綜上所述，BD=3或．
（3）①如圖4中，當△AEF和△CEF關于EF對稱時，EF是四邊形AECF的相似對角線，

設AE=EC=x，
在Rt△BCE中，∵EC2=BE2+BC2，
∴x2=（6-x）2+42，解得x=，
∴此時BE=AB-AE=6-．
②如圖5中，如圖取AD中點F，連接CF，將△CFD沿CF翻折得到△CFD′，延長CD′交AB于E，易證EF是四邊形AECF的相似對角線．

由△AEF∽△DFC得到，，
∴，
∴AE=，
∴BE=AB-AE=．
③如圖6中，取AB的中點E，連接CE，作EF⊥EC交AD于F，延長CB交FE的延長線于M，則易證EF是四邊形AECF的相似對角線．此時BE=3．

綜上所述，滿足條件的BE的值為或3．