Question

【題目】如圖，在ABCD中，AF是∠BAD的平分線，交BC于點F，與DC的延長線交于點N．CE是∠BCD的平分線，交AD于點E，與BA的延長線交于點M．

（1）試判斷四邊形AFCE的形狀，并說明理由；

（2）若BE⊥ME，證明四邊形ABFE是菱形．

Answer 1

【答案】（1）四邊形AFCE是平行四邊形，理由見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）四邊形AFCE的形狀是平行四邊形，利用已知條件證明AF∥CE即可；

（2）先證明BA＝AE，BF＝AE，再證明四邊形ABFE的是平行四邊形，即可解答

（1）四邊形AFCE是平行四邊形，

理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BC，

∴∠FAD＝∠BFA．

∵AF是∠BAD的角平分線，CE是∠BCD的角平分線，

∴∠FAD＝∠BAD，∠BCE＝∠BCD，

∴∠FAD＝∠BCE，

∴∠BFA＝∠BCE，

∴AF∥CE，

又∵AD∥BC，

∴四邊形AFCE的是平行四邊形；

（2）∵AF是∠BAD的角平分線，且∠FAD＝∠BFA，

∴∠BFA＝∠BAF，

∴BA＝BF，

∵BE⊥ME，

∴∠BEM＝90°，

∵AF∥CE，

∴∠BOA＝∠BEM＝90°，即BO⊥AF，

又∵在△ABF中，BA＝BF，

∴∠ABE＝∠FBE，

∵AD∥BC，

∴∠AEB＝∠FBE，

∴∠ABE＝∠AEB，

∴BA＝AE，

∴BF＝AE，

又∵AD∥BC，

∴四邊形ABFE的是平行四邊形，

又∵BA＝BF，

∴ABFE是菱形．