Question

（12分）如圖，△ABC和△ADC都是邊長相等的等邊三角形，點E、F同時分別從點B、 A出發，各自沿BA、AD方向運動到點A、D停止，運動的速度相同，連接EC、FC．

（1）寫出在點E、F運動過程中，所有全等的三角形。
（2）點E、F運動過程中∠ECF的大小是否隨之變化？請說明理由；
（3）點E、F運動過程中，以點A、E、C、F為頂點的四邊形的面積變化嗎？請說明理由;
（4）接EF，在圖中找出和∠ACE相等的所有角，并說明理由．

Answer 1

（1）  （2）∠ECF不變為60°，理由見解析
（3）不變化，理由見解析（4）∠ACE=∠FCD=∠AFE．解析:
（1）∵△ABC和△ADC都是邊長相等的等邊三角形,
∴
∵點E、F運動的速度相同,
∴AE=DF,BE=AF
∴       
（2）∠ECF不變為60°．（1分）
理由如下：
∵△ABC和△ADC都是邊長相等的等邊三角形，
∴BC=AC=CD，∠B=∠DAC=60°，
又∵BE=AF，
∴△BCE≌△ACF，
∴∠ECB=∠FCA．（4分）
所以∠ECF=∠FCA+∠ACE=∠ECB+∠ACE=∠BCA=60°；（6分）
（3）不變化．理由如下：
∵四邊形AECF的面積=△AFC的面積+△AEC的面積，（7分）
又∵△BCE≌△ACF，
∴△AEC的面積+△BEC的面積=△ABC的面積；（8分）
（4）證明：∵∠FCD+∠DFC=120°，∠AFE+∠DFC=120°，
∴∠AFE=∠FCD，
所以∠ACE=∠FCD=∠AFE．（10分）
（1）根據SSS求證，根據SAS求證  ；
（2）根據SAS證明△BCE≌△ACF，得到∠ECB=∠FCA，從而證明結論；
（3）結合（1）中證明的全等三角形，即可發現以點A、E、C、F為頂點的四邊形的面積即為△ABC的面積；
（4）根據等邊三角形的判定可以證明△ECF是等邊三角形，再進一步根據平角定義，得到∠AFE+∠DFC=120°，則∠AFE=∠FCD，從而求解