Question

如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．
（1）求證：△ACE≌△ABD；
（2）若AC=2，EC=4，DC=2

2

．求∠ACD的度數；
（3）在（2）的條件下，直接寫出DE的長為

2

10

．（只填結果，不用寫出計算過程）

Answer 1

分析：（1）根據等腰直角三角形的性質可以得出∠EAC=∠DAB，再有AB=AC，AD=AE，根據SAS就可以得出結論；
（2）根據勾股定理可以求出BC的值為2

2

，就可以得出BC=DC，在△BCD中由勾股定理的逆定理可以得出△BCD為等腰直角三角形，就可以得出∠BCD=90°，從而得出∠ACD的度數；
（3）由（2）可以知道∠CDB=45°，而∠ABC=45°，就可以得出△ABD是直角三角形，由勾股定理就可以求出AB的值，再由勾股定理就可以求出DE的值．

解答：解：（1）∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠EAC=∠BAD．
∵在△ACE和△ABD中

AE=AD ∠EAC=∠DAB AC=AB

，
∴△ACE≌△ABD（SAS）；

（2）∵△ACE≌△ABD（SAS），
∴DB=EC=4，
在Rt△ABC中，
AB²+AC²=BC²，
∴BC²=2²+2²=8
在△DBC中，
BC²+DC²=8+8=16=4²=BD²
∴∠DCB=90°
∴∠ACD=90°+45°=135°；

（3）∵BC²=8，DC²=8
∴BC=DC．
∵∠DCB=90°，
∴∠DBC=45°．
∵∠ABC=45°，
∴∠ABD=90°．
在Rt△ABD中由勾股定理，得
AD=

4+16

=2

5

．
在Rt△AED中由勾股定理，得
ED=

20+20

=2

10

．
故答案為：2

10

．

點評：本題考查了等腰直角三角形的性質的運用，勾股定理的運用及勾股定理的逆定理的運用，全等三角形的判定及性質的運用，解答時靈活運用勾股定理及逆定理是解答本題的關鍵