Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別為A（1，0），B（3，0），探究：拋物線（m為常數）交x軸于點M、N兩點．

（1）當m＝2時．

①求出拋物線的頂點坐標及線段MN的長；

②拋物線上有一點P，使，求出點P的坐標；

（2）對于拋物線（m為常數）．

①線段MN的長是否發生變化，請說明理由．

②若該拋物線與線段AB有公共點，請直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①頂點坐標：（2，﹣4），MN＝4；②P的坐標為（，4），（，4），（2，﹣4）；（2）①不變；②﹣1≤m≤1或3≤m≤5．

【解析】

試題（1）把m=2代入拋物線解析式則可得拋物線解析式為，

①根據解析式即可得到頂點坐標，令y=0，則可求得M、N 的橫坐標，從而可得MN的長；

②根據AB的長以及三角形ABP的面積，求得AB邊上的高，即點P的縱坐標的絕對值，然后分情況分別代入解析式即可得；

（2）①令y=0，解關于x的方程，得到點M、N的橫坐標，得到MN的長即可得MN的長不變；

②根據①中求得的M、N的橫坐標通過討論即可得.

試題解析：（1）當m＝2時，拋物線解析式為 ，

①y=x2-4x=(x-2)2-4，所以頂點坐標為（2，-4）；

令y=0，則有x2-4x=0，解得：x1=0，x2=4，

4-0=4，所以MN＝4；

②∵AB＝2，S△ABC=4，

∴△ABP底邊AB上的高為4，

令y＝4，則有x2-4=4，解得：，

令y＝﹣4，則有x2-4=-4，解得：x=0，

∴P的坐標為（，4），（，4），（0，﹣4）；

（2）①不變，理由如下：

令y＝0，則有=0，解得：，

∴MN＝m＋2－（m－2）＝4，

∴MN的長不變；

②由①可知拋物線與x軸交點的橫坐標分別為：m-2，m+2，

該拋物線與線段AB有公共點，A（1，0），B（3，0），

∴或，

解得：﹣1≤m≤1或3≤m≤5.