Question

【題目】直線l1交x軸于點A（6，0），交y軸于B（0，6）．

（1）如圖，折疊△AOB，使BA落在y軸上，折痕所在直線為l2，直線l2與x軸交與C點，求C點坐標及l2的解析式；

（2）在直線l1上找點M，使得以M、A、C為頂點的三角形是等腰三角形，求出所有滿足條件的M點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）C（2，0），y＝﹣x+6；（2）點M（6﹣6，2）或（6+6，﹣2）或（4，2）或（0，6）．

【解析】

（1）由三角函數可求∠OAB＝30°，由折疊的性質和直角三角形的性質可求點C坐標，用待定系數法可求解析式；

（2）分三種情況討論，由等腰三角形的性質可求解．

解：∵點A（6，0），交y軸于B（0，6）．

∴OA＝6，OB＝6，

∴tan∠OAB＝，

∴∠OAB＝30°，

∴∠OBA＝60°，

∵折疊△AOB，

∴∠OBC＝∠ABC＝30°，

∴BC＝2OC，BO＝OC＝6，

∴OC＝2，

∴點C（2，0），

設直線BC解析式為：y＝kx+b，

解得：

∴直線BC解析式為：y＝﹣x+6；

（2）當點M與點B重合時，

由（1）可知：∠AMC＝∠MAC＝30°，

∴CM＝AC，

∴△ACM是等腰三角形，

∴當M為（0，6）時，△ACM是等腰三角形，

∵OC＝2，OA＝6，

∴AC＝4，

若AM＝AC＝4，

如圖1：過點M作MH⊥AC，

∵∠MAH＝30°，

∴MH＝AM＝2，AH＝2MH＝6，

∴OH＝6﹣6或6+6，

∴點M（6﹣6，2）或（6+6，﹣2）

若AM＝MC，

如圖2，過點M作MH⊥AC，

∵AM＝MC，MH⊥AC，

∴AH＝CH＝2，

∴OC＝4，

∵∠MAH＝30°，

∴AH＝MH，

∴MH＝2，

∴點M（4，2），

綜上所述：點M（6﹣6，2）或（6+6，﹣2）或（4，2）或（0，6）．