Question

5．如圖，已知平面直角坐標系中有點A（1，1），B（1，5），C（3，1），且雙曲線y=$\frac{k}{x}$與△ABC有公共點，則k的取值范圍是（　　）

• A． 1≤k≤3
• B． 3≤k≤5
• C． 1≤k≤5
• D． 1≤k≤$\frac{49}{8}$

Answer 1

分析 結合圖形可知當雙曲線過A點時k有最小值，當直線AB與與雙曲線只有一個交點時k有最大值，從而可求得k的取值范圍．

解答 解：若雙曲線與△ABC有公共點，則雙曲線向下最多到點a，向上最多到與直線AB只有一個交點，

當過點A時，把A點坐標代入雙曲線解析式可得1=$\frac{k}{1}$，解得k=1；
當雙曲線與直線BC只有一個交點時，設直線AB解析式為y=ax+b，
∵B（1，5），C（3，1），
∴把A、B兩點坐標代入可得$\left\{\begin{array}{l}{a+b=5}\\{3a+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=7}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-2x+7，
聯立直線AB和雙曲線解析式得到$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{k}{x}}\\{y=-2x+7}\end{array}\right.$，消去y整理可得2x²-7x+k=0，
則該方程有兩個相等的實數根，
∴△=0，即（-7）²-8k=0，解得k=$\frac{49}{8}$，
∴k的取值范圍為：1≤k≤$\frac{49}{8}$．
故選D．

點評 本題主要考查一次函數和反比例函數的交點問題，確定出雙曲線的兩個特殊位置時k的值是解題的關鍵，屬于中考常考題型．