Question

【題目】如圖，平行四邊形中，對角線交于，，

（1）若的周長為，求平行四邊形的周長；

（2）若，平分，試求的度數．

Answer 1

【答案】（1）24cm；（2）36°

【解析】

（1）根據平行四邊形的對角線互相平分得：OA=OC．又OE⊥AC，根據線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等得：AE=CE．故△ABE的周長為AB+BC的長．最后根據平行四邊形的對邊相等得：ABCD的周長為2×12=24cm．

（2）由已知條件和平行四邊形的性質易求∠DAB=∠BAE+∠CAE+∠CAD=3∠CAD=108°，進而可求出∠ACB的度數．

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OA=OC．

∵OE⊥AC，

∴AE=CE．

∴△ABE的周長為AB+AC=12cm，

根據平行四邊形的對邊相等得，

平行四邊形ABCD的周長為2×12=24cm．

（2）∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=∠CAE，

∵OA=OC，OE⊥AC，

∴AE=CE．

∴△ACE是等腰三角形，

∴∠CAE=∠ACB

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠ACB=∠CAD，∠ABC+∠DAB=180°

∴∠DAB=∠BAE+∠CAE+∠CAD=3∠CAD

∵∠ABC=72°，

∴∠DAB=180°-72°=108°，

∴3∠CAD=108°，即∠CAD=36°，

∴∠ACB=∠CAD=36°．