Question

【題目】如圖，已知AB為半圓O的直徑，C為半圓O上一點，連接AC，BC，過點O作OD⊥AC于點D，過點A作半圓O的切線交OD的延長線于點E，連接BD并延長交AE于點F．

（1）求證：AEBC=ADAB；
（2）若半圓O的直徑為10，sin∠BAC= ，求AF的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵AB為半圓O的直徑，

∴∠C=90°，

∵OD⊥AC，

∴∠CAB+∠AOE=90°，∠ADE=∠C=90°，

∵AE是切線，

∴OA⊥AE，

∴∠E+∠AOE=90°，

∴∠E=∠CAB，

∴△EAD∽△ABC，

∴AE：AB=AD：BC，

∴AEBC=ADAB．

（2）

解：

作DM⊥AB于M，

∵半圓O的直徑為10，sin∠BAC= ，

∴BC=ABsin∠BAC=6，

∴AC= =8，

∵OE⊥AC，

∴AD= AC=4，OD= BC=3，

∵sin∠MAD= = ，

∴DM= ，AM= = = ，BM=AB﹣AM= ，

∵DM∥AE，

∴ ，

∴AF= ．

【解析】（1）只要證明△EAD∽△ABC即可解決問題．（2）作DM⊥AB于M，利用DM∥AE，得 求出DM、BM即可解決問題．本題考查切線的性質、勾股定理、三角函數、平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形，學會添加常用輔助線，屬于中考常考題型．