Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點P是弦AC上一動點（不與A，C重合），過點P作PE⊥AB，垂足為E，射線EP交 于點F，交過點C的切線于點D．

（1）求證：DC=DP；
（2）若∠CAB=30°，當F是 的中點時，判斷以A，O，C，F為頂點的四邊形是什么特殊四邊形？說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：

連接BC、OC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠OCD=90°，

∴∠OCA+∠OCB=90°，

∵∠OCA=∠OAC，∠B=∠OCB，

∴∠OAC+∠B=90°，

∵CD為切線，

∴∠OCD=90°，

∴∠OCA+∠ACD=90°，

∴∠B=∠ACD，

∵PE⊥AB，

∴∠APE=∠DPC=∠B，

∴∠DPC=∠ACD，

∴AP=DC；

（2）

解：以A，O，C，F為頂點的四邊形是菱形；

∵∠CAB=30°，∴∠B=60°，

∴△OBC為等邊三角形，

∴∠AOC=120°，

連接OF，AF，

∵F是 的中點，

∴∠AOF=∠COF=60°，

∴△AOF與△COF均為等邊三角形，

∴AF=AO=OC=CF，

∴四邊形OACF為菱形．

【解析】本題主要考查了切線的性質、圓周角定理和等邊三角形的判定等，作出恰當的輔助線利用切線的性質是解答此題的關鍵．（1）連接BC、OC，利用圓周角定理和切線的性質可得∠B=∠ACD，由PE⊥AB，易得∠APE=∠DPC=∠B，等量代換可得∠DPC=∠ACD，可證得結論；（2）由∠CAB=30°易得△OBC為等邊三角形，可得∠AOC=120°，由F是 的中點，易得△AOF與△COF均為等邊三角形，可得AF=AO=OC=CF，易得以A，O，C，F為頂點的四邊形是菱形．
【考點精析】掌握垂徑定理和切線的性質定理是解答本題的根本，需要知道垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．