Question

【題目】如圖，一次函數y=ax+b的圖象與反比例函數的圖象交于第一象限C，D兩點，坐標軸交于A、B兩點，連結OC，OD（O是坐標原點）．

（1）利用圖中條件，求反比例函數的解析式和m的值；

（2）雙曲線上是否存在一點P，使得△POC和△POD的面積相等？若存在，給出證明并求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y= ，m=1；（2）P（2，2）或P（﹣2，﹣2），理由見解析.

【解析】

（1）把C（1，4）代入y=求出k=4，把（4，m）代入y=求出m即可，把C（1，4），D（4，1）代入y=ax+b得出解析式，求得出一次函數的解析式；（2）雙曲線上存在點P，使得S△POC=S△POD，這個點就是∠COD的平分線與雙曲線的y=交點，易證△POC≌△POD，則S△POC=S△POD．

（1）把C（1，4）代入y=，得k=4，

把（4，m）代入y= ，得m=1；

∴反比例函數的解析式為y= ，m=1；

把C（1，4），D（4，1）代入y=ax+b得出，

解得，

∴一次函數的解析式為y=﹣x+5；

（2）雙曲線上存在點P（2，2），使得S△POC=S△POD，理由如下：

∵C點坐標為：（1，4），D點坐標為：（4，1），

∴OD=OC=，

∴當點P在∠COD的平分線上時，∠COP=∠POD，又OP=OP，

∴△POC≌△POD，∴S△POC=S△POD．

∵C點坐標為：（1，4），D點坐標為：（4，1），

可得∠COB=∠DOA，

又∵這個點是∠COD的平分線與雙曲線的y=交點，

∴∠BOP=∠POA，

∴P點橫縱坐標坐標相等，

即xy=4，x2=4，∴x=±2，

∵x＞0，

∴x=2，y=2，

故P點坐標為（2，2），使得△POC和△POD的面積相等．

利用點CD關于直線y=x對稱，P（2，2）或P（﹣2，﹣2）．