Question

如圖1，在平面直角坐標系中，以坐標原點O為圓心的⊙O的半徑為，直線與坐標軸分別交于A、C兩點，點B的坐標為(4,1)，⊙B與x軸相切于點M。
（1）求點A的坐標及∠CAO的度數；
（2）⊙B以每秒1個單位長度的速度沿x軸負方向平移，同時，若直線繞點A順時針勻速旋轉，當⊙B第一次與⊙O相切時，直線也恰好與⊙B第一次相切，見圖（2）求B₁的坐標以及直線AC繞點A每秒旋轉多少度？
（3）若直線不動，⊙B沿x軸負方向平移過程中，能否與⊙O與直線同時相切。若相切，說明理由。

Answer 1

解： （1）A（，0）
∵  C（0，）.  ∴  OA=OC  ∵  OA⊥OC，  ∴∠CAO=45°            
（2） 如圖，設⊙B平移t秒到⊙B₁處與⊙O第一次相切，此時，直線l旋轉到l¹恰好與⊙B₁ 第一次相切于點P，⊙B₁與x軸相切于點N，連接B₁O，B₁N.
則MN=t，O B₁= _， B₁N=1，B₁N⊥AN.
∴ON=1，∴MN=3，即t=3                                                
連接B₁A，B₁P，則B₁P⊥AP，B₁P= B₁N，∴∠PA B₁="∠NA" B₁.
∵OA="O" B₁=，∴∠A B₁O="∠NA" B₁. ∴∠PA B₁＝∠A B₁O. ∴PA∥B₁O.
在Rt△NO B₁中，∠B₁ON＝45° ∴∠PAN＝45° ∴∠1＝90°.
∴直線AC繞點A平均每秒旋轉30°
（3） 能，設⊙B與⊙O第二次相切時⊙B的圓心為B₂，作B₂E⊥AC于E，
作OH⊥AC于H，則四邊形B₂EHO為矩形，則B₂E=OH=1，故此時⊙B與直線同時相切。

（1）根據直線的解析式，易得AC的坐標，進而可得OA、OC的關系，由三角函數的定義可得∠CAO的大��；
（2）設相切時，MN=t，易得ON，MN的值，進而可得∠AB1O=∠NAB1，故PA∥B1O；易得在Rt△NOB₁中，∠1=90°，即可得出答案；
（3）先假設能，且設⊙B與⊙O第二次相切時⊙B的圓心為B₂，作B₂E⊥AC于E．易得四邊形B₂EHO為平行四邊形，此時⊙B與直線l同時相切．