Question

已知是⊙的直徑，是⊙的切線，是切點(diǎn)，與⊙交于點(diǎn).

（1）如圖①，若，，求的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）；
（2）如圖②，若為的中點(diǎn)，求證：直線是⊙的切線.

Answer 1

（1）（2）證明見(jiàn)解析

解：（1）∵ 是⊙的直徑，是切線，∴ .（1分）
在Rt△中，，，∴ .（2分）
由勾股定理，得 （3分）
(2)如圖，連接、，∵ 是⊙的直徑， 

∴，有.（4分）
在Rt△中，為的中點(diǎn)，
∴ .∴ .（5分）
又 ∵， 
∴.（6分）∵ ，
∴ .即 .（7分）∴ 直線是⊙的切線.   
（1）易證PA⊥AB，再通過(guò)解直角三角形求解；
（2）本題連接OC，證出OC⊥CD即可．首先連接AC，得出直角三角形ACP，根據(jù)直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半得CD=AD，再利用等腰三角形性質(zhì)可證∠OCD=∠OAD=90°，從而解決問(wèn)題．