Question

【題目】如圖，△ABC為等邊三角形，AE＝CD，AD與BE相交于點P，BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1．

（1）求證：BE＝AD；

（2）求∠BPD的度數；

（3）求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）60°；（3）7．

【解析】

（1）根據SAS證明△ABE與△CAD全等即可；

（2）根據全等三角形的性質得出∠ABE＝∠CAD，進而解答即可；

（3）根據含30°的直角三角形的性質解答即可．

（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°，

又∵AE＝CD，

在△ABE與△CAD中， ，

∴△ABE≌△CAD（SAS），

∴BE＝AD；

（2）解：由（1）得∠ABE＝∠CAD AD＝BE，

∴∠BPQ＝∠BAD+∠ABE

＝∠BAD+∠CAD

＝60°；

（3）解：∵BQ⊥AD，∠BPQ＝60°，

∴∠PBQ＝30°，

∴BP＝2PQ＝6，

又∵AD＝BE，

∴AD＝BE＝BP+PE＝6+1＝7．