Question

【題目】已知△ABC為等邊三角形，E為射線BA上一點，D為直線BC上一點，ED.=EC.

（1）當點E在AB的上，點D在CB的延長線上時（如圖1），求證：AE＋AC＝CD；
（2）當點E在BA的延長線上，點D在BC上時（如圖2），請寫出AE，AC和CD之間的數量關系，不需要證明;
（3）當點E在BA的延長線上，點D在BC的延長線上時（如圖3），請寫出AE、AC和CD的數量關系，不需要證明;

（4）在（1）和（2）的條件下，若AE=2，CD=6，則AC= 。

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）圖②:AC=AE +CD；（3）圖③:AE=AC+ CD；（4）4或8.

【解析】

（1）如圖①，在CD上截取CF＝AE，連接EF．運用“AAS”證明△ECF≌△EDB，得CF＝BD ，進而得出AE＝BD，由CD＝BC＋BD，BC＝AC，即可證得答案；
（2）如圖②，在BC的延長線上截取CF＝AE，連接EF．同理可得AE、AC和CD的數量關系；
（3）如圖③同（2）的探究過程，可得AE、AC和CD的數量關系；
（4）在（1）和（2）的條件下，把AE=2，CD=6分別代入AC=AE +CD和AE＋AC＝CD中，即可得出AC的值.

（1）證明：在CD上截取CF＝AE，連接EF．

∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝60°，AB＝BC．
∴BF＝BE，△BEF為等邊三角形．
∴∠EBD＝∠EFC＝120°．
又∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECF．
∴△EDB≌△ECF（AAS）
∴CF＝BD．

∴AE＝BD．
∵CD＝BC＋BD，BC＝AC，
∴AE＋AC＝CD；

（2）圖②:AC=AE +CD.

（3）圖③:AE=AC+ CD.

（4）把AE=2，CD=6代入AC=AE +CD中得：；

把AE=2，CD=6代入AE＋AC＝CD中得：.

∴或.