Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝－1，且經(jīng)過(guò)A(1,0)，C(0，3)兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B.

(1)若直線y＝mx＋n經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，求直線BC和拋物線的解析式；

(2)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x＝－1 上找一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝－x2－2x＋3，y＝x＋3；（2）M(－1，2)．

【解析】

試題（1）根據(jù)題意得出關(guān)于a、b、c的方程組，求得a、b、c的值，即可得出拋物線的解析式，根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再設(shè)出直線BC的解析式，把點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入即可得出直線BC的解析式；

（2）點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)B，連接BC，設(shè)直線BC與對(duì)稱(chēng)軸x=-1的交點(diǎn)為M，則此時(shí)MA+MC的值最小，再求得點(diǎn)M的坐標(biāo)．

試題解析：（1）依題意得：，

解之得：，

∴拋物線解析式為y=-x2-2x+3，

∵對(duì)稱(chēng)軸為x=-1，且拋物線經(jīng)過(guò)A（1，0），

∴B（-3，0），

∴把B（-3，0）、C（0，3）分別代入直線y=mx+n，

得，

解得：，

∴直線y=mx+n的解析式為y=x+3；

（2）設(shè)直線BC與對(duì)稱(chēng)軸x=-1的交點(diǎn)為M，則此時(shí)MA+MC的值最小．

把x=-1代入直線y=x+3得，y=2

∴M（-1，2）．

即當(dāng)點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小時(shí)M的坐標(biāo)為（-1，2）．