Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E、G分別是邊AD、BC的中點，AF= AB．

（1）求證：EF⊥AG；
（2）若點F、G分別在射線AB、BC上同時向右、向上運動，點G運動速度是點F運動速度的2倍，EF⊥AG是否成立（只寫結果，不需說明理由）？
（3）正方形ABCD的邊長為4，P是正方形ABCD內一點，當S△PAB=S△OAB ， 求△PAB周長的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠EAF=∠ABG=90°，

∵點E、G分別是邊AD、BC的中點，AF= AB．

∴ = ， = ，

∴ ，

∴△AEF∽△BAG，

∴∠AEF=∠BAG，

∵∠BAG+∠EAO=90°，

∴∠AEF+∠EAO=90°，

∴∠AOE=90°，

∴EF⊥AG；

（2）

解：成立；理由如下：

根據題意得： = ，

∵ = ，

∴ ，

又∵∠EAF=∠ABG，

∴△AEF∽△BAG，

∴∠AEF=∠BAG，

∵∠BAG+∠EAO=90°，

∴∠AEF+∠EAO=90°，

∴∠AOE=90°，

∴EF⊥AG

（3）

解：過O作MN∥AB，交AD于M，BC于N，如圖所示：

則MN⊥AD，MN=AB=4，

∵P是正方形ABCD內一點，當S△PAB=S△OAB，

∴點P在線段MN上，當P為MN的中點時，△PAB的周長最小，

此時PA=PB，PM= MN=2，

連接EG、PA、PB，則EG∥AB，EG=AB=4，

∴△AOF∽△GOE，

∴ = ，

∵MN∥AB，

∴ = ，

∴AM= AE= ×2= ，

由勾股定理得：PA= = ，

∴△PAB周長的最小值=2PA+AB= +4．

【解析】（1）由正方形的性質得出AD=AB，∠EAF=∠ABG=90°，證出 ，得出△AEF∽△BAG，由相似三角形的性質得出∠AEF=∠BAG，再由角的互余關系和三角形內角和定理證出∠AOE=90°即可；（2）證明△AEF∽△BAG，得出∠AEF=∠BAG，再由角的互余關系和三角形內角和定理即可得出結論；（3）過O作MN∥AB，交AD于M，BC于N，則MN⊥AD，MN=AB=4，由三角形面積關系得出點P在線段MN上，當P為MN的中點時，△PAB的周長最小，此時PA=PB，PM= MN=2，連接EG，則EG∥AB，EG=AB=4，證明△AOF∽△GOE，得出 = ，證出 = ，得出AM= AE= ，由勾股定理求出PA，即可得出答案．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解勾股定理的概念的相關知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對矩形的性質的理解，了解矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等．