Question

【題目】在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與軸交于、兩點，與軸交于點，連接、．

（1）點是直線下方拋物線上一點，當面積最大時，為軸上一動點，為軸上一動點，記的最小值為，請求出此時點的坐標及；

（2）在（1）的條件下，連接交軸于點，將拋物線沿射線平移，平移后的拋物線記為，當經過點時，將拋物線位于軸下方部分沿軸翻折，翻折后所得的曲線記為，點為曲線的頂點，將沿直線平移，得到，在平面內是否存在點，使以點、、、為頂點的四邊形為菱形．若存在，請直接寫出的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）當或時，存在點，使以點、、、為頂點的四邊形為菱形．

【解析】

（1）如圖1中，設，作PF∥y軸交BC于點F．構建二次函數求出點P坐標，如圖2中，在y軸的正半軸上取一點G，連接BG，使得∠GBO=30°，作點P關于y軸的對稱點H，作HF⊥BG交y軸于M，交x軸于N．由FN=BN，推出PM+MN+BN=HM+MN+NF，根據垂線段最短可知，此時PM+MN+BN的值最短，求出H，F的坐標即可解決問題．
（2）想辦法求出R，D′的坐標，分兩種情形分別構建方程解決問題即可．

（1）如圖1中，設，作軸交于點．

圖1

由題意，，，

直線的解析式為，

，

，

，

，

時，的面積最大，此時，

如圖2中，在軸的正半軸上取一點，連接，使得，作點關于軸的對稱點，作交軸于，交軸于．

圖2

，

，根據垂線段最短可知，此時的值最短．

直線的解析式為，，，

直線的解析式為，

由，解得，

，

．

（2）如圖3中，

圖3

由題意直線的解析式為，

，

，

直線的解析式為，設，

原拋物線的頂點坐標為，平移后拋物線經過點，此時頂點，翻折后的頂點，

，

由題意可知當時，存在點，使以點、、、為頂點的四邊形為菱形，

，

解得，

當點在線段的垂直平分線上時，存在點，使以點、、、為頂點的四邊形為菱形，則有： ，

．

綜上所述，當或時，存在點，使以點、、、為頂點的四邊形為菱形．