Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知的直角頂點，斜邊在軸上，且點的坐標為，點是的中點，點是邊上的一個動點，拋物線過，，三點．

（1）當時，

①求拋物線的解析式；

②平行于對稱軸的直線與軸，，分別交于點，，，若以點，，為頂點的三角形與相似，求點的值．

（2）以為等腰三角形頂角頂點，為腰構造等腰，且點落在軸上.若在軸上滿足條件的點有且只有一個時，請直接寫出點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）①；②的值為或0；（2）或．

【解析】

（1）①先由A、C的坐標求出點D的坐標，由勾股定理求出AC，通過三角函數可求出DE，即可得到E點坐標，然后將D、E代入即可；②分和兩種情況討論，根據三角函數求解；

（2）分兩種情況：①EG⊥AB，②以E為圓心DE為半徑作圓，交AB延長線于M，過E作EH⊥AB于H， D、E、M三點共線時．

（1）①∵點，點，

∴，，

在中，，

∵點是的中點，

∴點的坐標為，，

∵，

∴，

∴，即，

∴，

∴的坐標為，即，

把和D代入，

得，

解得，

∴拋物線的解析式為.

②當時，可得，

解得，

∴；

當時，可得，

解得，

∴.

綜上所述，的值為或0.

（2）若在軸上滿足條件的點有且只有一個，則有兩種情況，

第一種情況，EG⊥AB，如圖，

∠A+∠B=90°，∠B+∠BCO=90°，∠B+∠BEG=90°，

∴∠A=∠BCO=∠BEG，

∴△AOC∽△COB，△AOC∽△COB，

∴，，

∴，即，

，即，

設，則，，

在直角三角形CDE中，，

∴，

解得或（舍），

，

由，得，，

∴，

∴E點坐標為，

第二種情況如圖，以E為圓心DE為半徑作圓，交AB延長線于M，過E作EH⊥AB于H， D、E、M三點共線時，

則E為DM的中點，

由D可知E的縱坐標為3，即EH=3，

由題可知△EHB∽△COB，

∴即,

∴HB=4，OH=OB-HB=16-4=12，

∴E點坐標為，

∴答案為或．