Question

【題目】如圖，已知拋物線經過、兩點，

（1）求拋物線的解析式；

（2）閱讀理解：在同一平面直角坐標系中，直線（、為常數，且），直線（、為常數，且），若，則．

解決問題：①若直線與直線互相垂直，求的值；

②在拋物線上是否存在點，使得△PAB是以為直角邊的直角三角形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）點是拋物線上一動點，且在直線的上方（不與、重合），求點到直線 距離的最大值．

Answer 1

【答案】(1) y=-x2+x+1；(2)① -；②存在，點P的坐標（6，-14）或（4，-5）；（3）.

【解析】

（1）根據待定系數法，可得函數解析式；
（2）①利用垂線間的關系，即可求出m的值；

②分兩種情況：當PA⊥AB時；當PB⊥AB時。根據垂線間的關系，可得PA，PB的解析式，根據解方程組，可得P點坐標；
（3）作MQ⊥x軸交AB于Q。設M的橫坐標為t，根據垂直于x軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，用t表示出MQ，于是可表示出三角形ABM的面積，是一個二次函數，根據二次函數的性質，可得面積的最大值，根據三角形的底一定時面積與高成正比，可得三角形高的最大值．

解：（1）將A，B點坐標代入，得

，

解得，

所以拋物線的解析式為；

（2）①由直線y=2x-1與直線y=mx+2互相垂直，得

2m=-1，

即；

故答案為：；

②AB的解析式為，

當PA⊥AB時，PA的解析式為y=-2x-2，

聯立PA與拋物線，得，

解得（舍），，

即P（6，-14）；

當PB⊥AB時，PB的解析式為y=-2x+3，

聯立PB與拋物線，得，

解得（舍去），，

即P（4，-5），

綜上所述：△PAB是以AB為直角邊的直角三角形，點P的坐標為（6，-14）（4，-5）；

（3）如圖：作MQ⊥x軸交AB于Q。

，

，

S△MAB=MQ|xB-xA|

=，

當t=0時，S取最大值，即M（0，1）．

由勾股定理，得

，

設M到AB的距離為h，由三角形的面積，得

點M到直線AB的距離的最大值是．