Question

【題目】在平面直角坐標系xoy中，對于已知的△ABC，點P在邊BC的垂直平分線上，若以P點為圓心，PB為半徑的⊙P與△ABC三條邊的公共點個數之和大于等于3，則稱點P為△ABC關于邊BC的“穩定點”．如圖為△ABC關于邊BC的一個“穩定點”P的示意圖，已知A(m，0)，B(0，n)．

(1) 如圖1，當時，在點中，△AOB關于邊OA的“穩定點”是________．

(2) 如圖2，當n=4時，若直線y=6上存在△AOB關于邊AB的“穩定點”，則m的取值范圍是___________

(3)如圖3，當m=3，時，過點M(5，7)的直線y=kx+b上存在△AOB關于邊AB的“穩定點”，則k的取值范圍是__________________．

Answer 1

【答案】（1）；（2）m＞或m＜-；（3）若1≤n＜時，＜k≤；若時，；若＜n≤3時，≤k＜時，若3＜n＜時，≤k＜；若n=時，≤k；若＜n≤6時，k＜或k≥．

【解析】

（1）分兩種情況：①當⊙P過點B時，②當⊙P與直線AB相切時，分別求出點P的坐標，進而得到結論；

（2）分兩種情況：①如圖3，當點A在x軸的正半軸時，以線段AB的中垂線與直線y=6的交點P為圓心，以PB的長為半徑作⊙P，求出A的坐標，②如圖4，當點A在x軸的負半軸時，以線段AB的中垂線與直線y=6的交點P為圓心，以PB的長為半徑作⊙P，求出A的坐標，進而即可得到結論；

（3）分6種情況：①如圖5，若線段AB的中垂線過點M時，即時，②若1≤n＜時，如圖6，③若＜n≤3時，④若3＜n＜時，⑤若n=時，⑥若＜n≤6時，分別求出k的求值范圍，即可．

（1）①當⊙P過點B時，如圖1，則OP=AP=BP，即：點P是AB的中點，此時，P(，1)，

②當⊙P與直線AB相切時，如圖2，切點為點A，則∠PAB=90°，

∵OA=，OB=2，∠AOB=90°，

∴∠BAO=30°，

∴∠OAP=60°，

∴DP=AD=×=3，

∴此時，P(，-3)

綜上所述，設點P的縱坐標為y，當-3＜y≤1時，點P是△AOB關于邊OA的“穩定點”，即：是△AOB關于邊OA的“穩定點”．

故答案是：；

（2）①如圖3，當點A在x軸的正半軸時，以線段AB的中垂線與直線y=6的交點P為圓心，以PB的長為半徑作⊙P，

當n=4時，且⊙P與x軸相切，切點為點A，則∠PAO=90°，四邊形PAOD是矩形，PA=OD=6，

∴PB=PA=6，BD=OD-OB=6-4=2，

∴PD==，

∴此時，A(，0)，

∴當m＞時，直線y=6上存在△AOB關于邊AB的“穩定點”；

②如圖4，當點A在x軸的負半軸時，以線段AB的中垂線與直線y=6的交點P為圓心，以PB的長為半徑作⊙P，此時，A(-，0)，

∴當m＜-時，直線y=6上存在△AOB關于邊AB的“穩定點”，

綜上所述，m的取值范圍是：m＞或m＜-．

故答案是：m＞或m＜-；

（3）①如圖5，若線段AB的中垂線過點M時，即過點M(5，7)的直線y=kx+b與線段AB的中垂線重合，此時，符合條件．

把M(5，7)和AB的中點坐標(,)代入y=kx+b，得，解得：，

設直線AB的解析式為：y=ax+c，則，解得：，

∴()()=-1，解得： ，（舍去），

∴；

②若1≤n＜時，如圖6，當⊙P過點O時，P(,)，此時，，

如圖7，當⊙P與x軸相切，切點為點A，設OD=x，則AD=BD=3-x，

由勾股定理得： ，解得：，

∴AD=3-x=3-=，

∵∠APD+∠ADP=∠ADP+∠BAO=90°,

∴∠APD=∠BAO，

∴tan∠APD=tan∠BAO，

∴，解得：AP=,

∴P(3，)，

∴k=，

∴＜k≤時，過點M(5，7)的直線y=kx+b上存在△AOB關于邊AB的“穩定點”；

③若＜n≤3時，當⊙P過點O時，P(,)，此時，，

當⊙P與x軸相切，切點為點A，此時P(3，)，k=，

∴≤k＜時，過點M(5，7)的直線y=kx+b上存在△AOB關于邊AB的“穩定點”；

④若3＜n＜時，當⊙P過點O時，P(,)，此時，，

當⊙P與y軸相切，切點為點B，此時⊙P的半徑= ，P(，n)，k=，

∴≤k＜時，過點M(5，7)的直線y=kx+b上存在△AOB關于邊AB的“穩定點”；

⑤若n=時，則≤k時，過點M(5，7)的直線y=kx+b上存在△AOB關于邊AB的“穩定點”；

⑥若＜n≤6時，當⊙P過點O時，P(,)，此時，，

當⊙P與y軸相切，切點為點B，此時⊙P的半徑= ，P(，n)，k=，

∴k＜或k≥時，過點M(5，7)的直線y=kx+b上存在△AOB關于邊AB的“穩定點”；

綜上所述：若1≤n＜時，＜k≤；若時，；若＜n≤3時，≤k＜時，若3＜n＜時，≤k＜；若n=時，≤k；若＜n≤6時，k＜或k≥．

故答案是：若1≤n＜時，＜k≤；若時，；若＜n≤3時，≤k＜時，若3＜n＜時，≤k＜；若n=時，≤k；若＜n≤6時，k＜或k≥．