Question

【題目】已知拋物線y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m與x軸相交于不同的兩點A、B
（1）求m的取值范圍；
（2）證明該拋物線一定經過非坐標軸上的一點P，并求出點P的坐標；
（3）當 ＜m≤8時，由（2）求出的點P和點A，B構成的△ABP的面積是否有最值？若有，求出該最值及相對應的m值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當m=0時，函數為一次函數，不符合題意，舍去；

當m≠0時，

∵拋物線y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m與x軸相交于不同的兩點A、B，

∴△=（1﹣2m）2﹣4×m×（1﹣3m）=（1﹣4m）2＞0，

∴1﹣4m≠0，

∴m≠ ，

∴m的取值范圍為m≠0且m≠ ；

（2）

證明：∵拋物線y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m，

∴y=m（x2﹣2x﹣3）+x+1，

拋物線過定點說明在這一點y與m無關，

顯然當x2﹣2x﹣3=0時，y與m無關，

解得：x=3或x=﹣1，

當x=3時，y=4，定點坐標為（3，4）；

當x=﹣1時，y=0，定點坐標為（﹣1，0），

∵P不在坐標軸上，

∴P（3，4）；

（3）

解：|AB|=|xA﹣xB|= = = = =| |=| ﹣4|，

∵ ＜m≤8，

∴ ≤ ＜4，

∴﹣ ≤ ﹣4＜0，

∴0＜| ﹣4|≤ ，

∴|AB|最大時，| ﹣4|= ，

解得：m=8，或m= （舍去），

∴當m=8時，|AB|有最大值 ，

此時△ABP的面積最大，沒有最小值，

則面積最大為： |AB|yP= × ×4= ．

【解析】（1）根據題意得出△=（1﹣2m）2﹣4×m×（1﹣3m）=（1﹣4m）2＞0，得出1﹣4m≠0，解不等式即可；（2）y=m（x2﹣2x﹣3）+x+1，故只要x2﹣2x﹣3=0，那么y的值便與m無關，解得x=3或x=﹣1（舍去，此時y=0，在坐標軸上），故定點為（3，4）；（3）由|AB|=|xA﹣xB|得出|AB|=| ﹣4|，由已知條件得出 ≤ ＜4，得出0＜| ﹣4|≤ ，因此|AB|最大時，| |= ，解方程得出m=8，或m= （舍去），即可得出結果．
【考點精析】認真審題，首先需要了解拋物線與坐標軸的交點(一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．)．