Question

17．如圖，直線y=-x+3與x軸，y軸分別交于B，C兩點，拋物線y=ax²+bx+c過A（1，0），B，C三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點M是拋物線在x軸下方圖形上的動點，過點M作MN∥y軸交直線BC于點N，求線段MN的最大值．
（3）在（2）的條件下，當MN取得最大值時，在拋物線的對稱軸l上是否存在點P，使△PBN是以BN為腰的等腰三角形？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由點A、B、C的坐標利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；
（2）設出點M的坐標以及直線BC的解析式，由點B、C的坐標利用待定系數法即可求出直線BC的解析式，結合點M的坐標即可得出點N的坐標，由此即可得出線段MN的長度關于m的函數關系式，再結合點M在x軸下方可找出m的取值范圍，利用二次函數的性質即可解決最值問題；
（3）假設存在，設出點P的坐標為（2，n），結合（2）的結論可求出點N的坐標，結合點N、B的坐標利用兩點間的距離公式求出線段PN、PB、BN的長度，根據等腰三角形的性質分類討論即可求出n值，從而得出點P的坐標．

解答 解：（1）由題意點A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入拋物線y=ax²+bx+c中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=x²-4x+3．

（2）設點M的坐標為（m，m²-4m+3），設直線BC的解析式為y=kx+3，
把點點B（3，0）代入y=kx+3中，
得：0=3k+3，解得：k=-1，
∴直線BC的解析式為y=-x+3．
∵MN∥y軸，
∴點N的坐標為（m，-m+3）．
∵拋物線的解析式為y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴拋物線的對稱軸為x=2，
∴點（1，0）在拋物線的圖象上，
∴1＜m＜3．
∵線段MN=-m+3-（m²-4m+3）=-m²+3m=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴當m=$\frac{3}{2}$時，線段MN取最大值，最大值為 $\frac{9}{4}$．

（3）假設存在．設點P的坐標為（2，n）．
當m=$\frac{3}{2}$時，點N的坐標為（ $\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴PB=$\sqrt{（2-3）^{2}+（n-0）^{2}}$=$\sqrt{1+{n}^{2}}$，PN=$\sqrt{（2-\frac{3}{2}）^{2}+（n-\frac{3}{2}）^{2}}$，BN=$\sqrt{（3-\frac{3}{2}）^{2}+（0-\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
△PBN為等腰三角形分三種情況：
①當PB=BN時，即 $\sqrt{1+{n}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
解得：n=±$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
此時點P的坐標為（2，-$\frac{\sqrt{14}}{2}$）或（2，$\frac{\sqrt{14}}{2}$）．
②當PN=BN時，即 $\sqrt{（2-\frac{3}{2}）^{2}+（n-\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
解得：n=$\frac{3±\sqrt{17}}{2}$，
此時點P的坐標為（2，$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$）或（2，$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$）．
綜上可知：在拋物線的對稱軸l上存在點P，使△PBN是等腰三角形，點P的坐標為（2，-$\frac{\sqrt{14}}{2}$）或（2，$\frac{\sqrt{14}}{2}$）或（2，$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$）或（2，$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$）．

點評 本題考查了待定系數法求函數解析式、二次函數圖象上點的坐標特征、二次函數的性質、兩點間的距離以及等腰三角形的性質，解題的關鍵是：（1）利用待定系數法求出函數解析式；（2）利用二次函數的性質解決最值問題；（3）分類討論．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，利用配方法將二次函數解析式變形為頂點式，再結合二次函數的性質解決最值問題是關鍵．