Question

【題目】如圖，在銳角△ABC中，AB＝4 ，∠BAC＝45°，∠BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，則BM＋MN的最小值是（ ）．
A.3
B.4
C.5
D.6

Answer 1

【答案】B
【解析】解答：如圖，在AC上截取AE＝AN，連接BE．
∵∠BAC的平分線交BC于點D，
∴∠EAM＝∠NAM，
在△AME與△AMN中， ，
∴△AME≌△AMN（SAS），
∴ME＝MN．
∴BM＋MN＝BM＋ME≥BE．
∵BM＋MN有最小值．
當BE是點B到直線AC的距離時，BE⊥AC，
又AB＝4 ，∠BAC＝45°，此時，△ABE為等腰直角三角形，
∴BE＝4，
即BE取最小值為4，
∴BM＋MN的最小值是4．
所以答案是：B．

分析：從已知條件結合圖形認真思考，通過構造全等三角形，利用三角形的三邊的關系確定線段和的最小值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用三角形的“三線”和軸對稱-最短路線問題的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握1、三角形角平分線的三條角平分線交于一點(交點在三角形內部，是三角形內切圓的圓心，稱為內心);2、三角形中線的三條中線線交于一點(交點在三角形內部，是三角形的幾何中心，稱為中心);3、三角形的高線是頂點到對邊的距離；注意：三角形的中線和角平分線都在三角形內；已知起點結點，求最短路徑；與確定起點相反，已知終點結點，求最短路徑；已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑．