Question

【題目】如圖，在圓O中，弦AC，BD相交于點M，且∠A＝∠B

（1）求證：AC＝BD；

（2）若OA＝4，∠A＝30°，當AC⊥BD時，求弧CD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）（1）延長AO交⊙O于點F，連接CF，延長BO交⊙O于點E，連接DE，證明△DEB≌△CFA即可得到結論；

（2）延長AO交⊙O于點F，連接CF，延長BO交⊙O于點E，連接DE，CD，OD，OC，先求得∠COA＝120°，再求出∠EOA＝30°，即可得到∠COD＝30°，再根據弧長公式計算.

證明：（1）延長AO交⊙O于點F，連接CF，延長BO交⊙O于點E，連接DE，

∵BE，AF是⊙O的直徑，

∴∠EDB＝∠FCA＝90°．

在△DEB與△CFA中，

∵，

∴△DEB≌△CFA（AAS），

∴AC＝BD；

（2）延長AO交⊙O于點F，連接CF，延長BO交⊙O于點E，連接DE，CD，OD，OC，

∵∠A＝30°，OA＝OC，

∴∠COA＝180°﹣30°﹣30°＝120°．

∵∠A＝∠B＝30°，AC⊥BD，

∴∠EOA+∠A＝60°，

∴∠EOA＝30°，

∴∠DOE＝60°，

∴∠COD＝30°，

∴.