Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Rt△AOB的直角邊OB，OA分別在x軸上和y軸上，其中OA=2，OB=4，現(xiàn)將Rt△AOB繞著直角頂點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△COD，已知一拋物線經(jīng)過C、D、B三點(diǎn)．

（1）該拋物線的解析式為　　；

（2）設(shè)點(diǎn)E是拋物線上位于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，并交直線AB于N，過點(diǎn)E再作EM⊥AB于點(diǎn)M，求△EMN周長的最大值；

（3）當(dāng)△EMN的周長最大時(shí)，在直線EF上是否存在點(diǎn)Q，使得△QCD是以CD為直角邊的直角三角形？若存在請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣+x+4；（2）最大值為；（3）存在，當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）或（，）時(shí)，使得△QCD是以CD為直角邊的直角三角形

【解析】

（1）設(shè)拋物線的解析式為．由線段OA、OB的長度可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再由旋轉(zhuǎn)的特性可得出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，由點(diǎn)B、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

（2）在Rt△AOB中，求出∠ABO的正弦余弦值，再根據(jù)相似三角形的判定定理找出△EMN∽△BFN，從而得出∠MEN=∠FBN，用EN的長度來表示出EM和MN的長度，由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線AB的函數(shù)解析式，設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)為 （0＜t＜4），即可找出點(diǎn)N的坐標(biāo)為，從而得出線段EN的長度，將EN、MN、EM相加即可得出△EMN的周長，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求出EN的最大值，由此即可得出結(jié)論；

（3）結(jié)合（2）的結(jié)論可知直線EF的解析式為，分∠QDC=90°和∠DCQ=90°兩種情況來考慮，利用相似三角形的性質(zhì)找出相似邊的比例關(guān)系來找出線段的長度，再根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)間的數(shù)量關(guān)系即可找出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為．

∵OA=2，OB=4，

∴點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)B（4，0），

由旋轉(zhuǎn)的特性可知：

點(diǎn)C（﹣2，0），點(diǎn)D（0，4）．

將點(diǎn)B（4，0）、點(diǎn)C（﹣2，0）、點(diǎn)D（0，4）代入到拋物線解析式得：

，解得：．

∴該拋物線的解析式為．

故答案為：．

（2）依照題意畫出圖形，如圖1所示．

在Rt△AOB中，OA=2，OB=4，

∴AB=，

∴sin∠ABO=，cos∠ABO=．

∵EM⊥AB，EF⊥OB，

∴∠EMN=∠BFN=90°．

∵∠BNF=∠ENM，

∴△EMN∽△BFN，

∴∠MEN=∠FBN．

在Rt△EMN中，sin∠MEN=，cos∠MEN=，

∴MN=ENsin∠MEN=ENsin∠ABO=EN，

EM=ENcos∠MEN=ENcos∠ABO=EN．

∴C△EMN=EM+MN+EN=EN+EN+EN=EN．

由（1）知A（0，2）、B（4，0），設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+2，

∴4k+2=0，解得：k=，

∴直線AB的解析式為：．

設(shè)拋物線上點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0＜t＜4），

∵EF⊥OB，

∴令y=+2中x=t，y=+2，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（t，﹣t+2），

∴EN=﹣+t+4﹣（﹣t+2）=﹣+t+2．

∴C△EMN=（﹣+t+2）=﹣（0＜t＜4）．

∴當(dāng)時(shí)，EN最大，此時(shí)C△EMN最大，

∴C△EMN最大為： [﹣+2]=．

（3）由（2）知，當(dāng)C△EMN取最大值時(shí)，EF的解析式為：x=．

①若∠QDC=90°，過點(diǎn)Q作QG⊥y軸于點(diǎn)G，如圖2所示．

∵EF的解析式為：x=，

∴QG=，

∵∠QDG+∠DQG=90°，∠CDO+∠QDG=90°，

∴∠DGQ=∠CDO，

又∵∠QGD=∠DOC=90°，

∴△QDG∽△DCO，

∴，

∴DG=2×．

∴OG=OD﹣DG=4﹣，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）；

②若∠DCQ=90°，如圖3所示．

CF=﹣（﹣2）=，

∵∠QCF+∠OCD=90°，∠CDO+∠OCD=90°，

∴∠QCF=∠CDO，

又∵∠CFQ=∠DOC=90°，

∴△COD∽△QFC，

∴，即，

∴FQ=，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）．

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）或（，）時(shí)，使得△QCD是以CD為直角邊的直角三角形．