Question

【題目】如圖，已知中，，，，、分別是、上的動點，，與關于直線對稱，若是直角三角形，則的長為___．

Answer 1

【答案】或

【解析】

分三種情況：①當∠PAD＝90，由平行四邊形的性質得出CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，AD∥BC，證明△ABP∽△CBA，得出，求出BP＝，由軸對稱的性質即可得出結果；

②∠APD＝90，當點P與C重合時，得出該情況不成立；

③當點P與C不重合時，∠APD＝90，作AG⊥BC于G，則EF與AG重合，根據三角形面積及勾股定理求出BF＝．

分三種情況：

①當∠PAD＝90，如圖1所示：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，AD∥BC，

∴∠APB＝∠PAD＝90°，

∵AB＝3，BC＝5，∠BAC＝90，

∴AC＝＝4，

∵∠B＝∠B，

∴△ABP∽△CBA，

∴，即，

解得：BP＝，

∵EF⊥BC，△BEF與△PEF關于直線EF對稱，

∴BF＝PF＝BP＝；

②當∠APD＝90時，點P與C重合時，如圖2所示：

∵AB∥CD，

∴∠APD＝∠ACD＝∠BAC＝90，

∵E在AB上，E和A重合，而AB≠AC，

則△BEF與△PEF關于直線EF不對稱，

∴該情況不存在；

③當點P與C不重合時，∠APD＝90，如圖3所示：

作AG⊥BC于G，則EF與AG重合，

∵AB＝3，BC＝5，∠BAC＝90，

∴AC＝＝4，

∴AF=

∴BF＝=；

綜上所述，若△APD是直角三角形，則BF的長為 或；

故答案為：或．