Question

【題目】天府新區某校數學活動小組在一次活動中，對一個數學問題作如下探究：

（1）問題發現：如圖1，在等邊△ABC中，點P是邊BC上任意一點，連接AP，以AP為邊作等邊△APQ，連接CQ．求證：BP CQ；

（2）變式探究：如圖2，在等腰△ABC中，ABBC，點P是邊BC上任意一點，以AP為腰作等腰△APQ，使AP PQ，APQ ABC，連接CQ．判斷∠ABC和∠ACQ的數量關系，并說明理由；

（3）解決問題：如圖3，在正方形ADBC中，點P是邊BC上一點，以AP為邊作正方形 APEF，Q是正方形APEF的中心，連接CQ．若正方形APEF的邊長為6，，求正方形ADBC的邊長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2），理由見解析；（3）正方形ADBC的邊長為．

【解析】

（1）易證∠BAP＝∠CAQ，根據AB＝AC，AP＝AQ，由SAS證得△BAP≌△CAQ，即可得出結論；

（2）由等腰三角形的性質得出∠BAC＝∠PAQ，證得△BAC∽△PAQ，得出，易證∠BAP＝∠CAQ，則△BAP∽△CAQ，可得∠ABC＝∠ACQ；

（3）連接AB、AQ，由正方形的性質得出，∠BAC＝45°，，∠PAQ＝45°，易證∠BAP＝∠CAQ，則可得△ABP∽△ACQ，根據相似三角形的性質求出BP＝4，設PC＝x，則BC＝AC＝4＋x，在Rt△APC中，利用勾股定理列方程求出x，即可得出結果．

（1）證明：如圖1，與都是等邊三角形，

，

，

．

又，，

，

；

（2），

理由：如圖2，在中，，

，

在中，，

，

，

，

，

，

又，，

，

，

∴；

（3）如圖3，連接，，

正方形，

，，

又為正方形的中心，

，，

，，

，

，

，

，

，

，

設，則，

在中，，即，

解得：，

，

，

邊長.