Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，有一條直線l：y＝＋4與x軸、y軸分別交于點M、N，一個高為3的等邊三角形ABC，邊BC在x軸上，將此三角形沿著x軸的正方向平移

（1）在平移過程中，得到△A1B1C1，此時頂點A1恰落在直線l上，寫出A1點的坐標；

（2）繼續向右平移，得到△A2B2C2，此時△A2B2C2的三邊中垂線的交點P（即外心）恰好落在直線l上，求P點的坐標；

（3）在直線l上是否存在這樣的點，與（2）中的A2、B2、C2任意兩點能同時構成三個等腰三角形？如果存在，求出點的坐標；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A1點的坐標是（，3），（2）P（3，1）；（3）存在四個點，分別是P（3，1），Q（，3），S（43，），R．（4＋3，）．

【解析】

（1）根據等邊三角形ABC的高為3，得出A1點的縱坐標為3，再代入y＝＋4即可；

（2）設P（x，y），連接A2P并延長交x軸于點H，連接B2P，先求出A2B2＝2，HB2＝，根據點P是等邊三角形A2B2C2的外心，得出PH＝1，將y＝1代入y＝＋4，即可得出點P的坐標；

（3）根據點P是等邊三角形A2B2C2的外心，得出△PA2B2，△PB2C2，△PA2C2是等腰三角形，得P（3，1），由（2）得，C2（4，0），點C2滿足直線y＝＋4的關系式，得出點C2與點M重合，∠PMB2＝30°，設點Q滿足的條件，△QA2B2，△B2QC2，△A2QC2能構成等腰三角形，則QA2＝QB2，B2Q＝B2C2，A2Q＝A2C2，作QD⊥x軸與點D，連接QB2，根據QB2＝2，∠QB2D＝2∠2＝60°，求出Q（，3），設點S滿足的條件，△SA2B2，△C2B2S，△C2SA2是等腰三角形，則SA2＝SB2，C2B2＝C2S，C2A2＝C2S，作SF⊥x軸于點F，根據SC2＝2，∠SB2C2＝∠PMB2＝30°，求出S（43，），設點R滿足的條件，△RA2B2，△C2B2R，△C2A2R能構成等腰三角形，則RA2＝RB2，C2B2＝C2R，C2A2＝C2R，作RE⊥x軸于點E，根據RC2＝2，∠RC2E＝∠PMB2＝30°，R（4＋3，）．

（1）∵等邊三角形ABC的高為3，
∴A1點的縱坐標為3，
∵頂點A1恰落在直線l上，
∴3＝＋4，
解得；x＝，
∴A1點的坐標是（，3），
故答案為：（，3）；
（2）設P（x，y），連接A2P并延長交x軸于點H，連接B2P，
在等邊三角△A2B2C2中，高A2H＝3，
∴A2B2＝2，HB2＝，
∵點P是等邊三角形A2B2C2的外心，
∴∠PB2H＝30°，
∴PH＝1，即y＝1，
將y＝1代入y＝＋4，
解得：x＝3．
∴P（3，1）；

（3）∵點P是等邊三角形A2B2C2的外心，
∴△PA2B2，△PB2C2，△PA2C2是等腰三角形
∴點P滿足的條件，由（2）得P（3，1），
由（2）得，C2（4，0），點C2滿足直線y＝＋4的關系式，
∴點C2與點M重合
∴∠PMB2＝30°，
設點Q滿足的條件，△QA2B2，△B2QC2，△A2QC2能構成等腰三角形，
此時QA2＝QB2，B2Q＝B2C2，A2Q＝A2C2，
作QD⊥x軸與點D，連接QB2，
∵QB2＝2，∠QB2D＝2∠PMB2＝60°，
∴QD＝3，
∴Q（，3），
設點S滿足的條件，△SA2B2，△C2B2S，△C2SA2是等腰三角形，
此時SA2＝SB2，C2B2＝C2S，C2A2＝C2S，
作SF⊥x軸于點F，
∵SC2＝2，∠SB2C2＝∠PMB2＝30°，
∴SF＝，
∴S（43，），
設點R滿足的條件，△RA2B2，△C2B2R，△C2A2R能構成等腰三角形，
此時RA2＝RB2，C2B2＝C2R，C2A2＝C2R，
作RE⊥x軸于點E，
∵RC2＝2，∠RC2E＝∠PMB2＝30°，∴ER＝，
∴R（4＋3，）．
答：存在四個點，分別是P（3，1），Q（，3），S（43，），R．（4＋3，）．