Question

【題目】如圖，已知等腰三角形ABC的底角為30°，以BC為直徑的⊙O與底邊AB交于點D，過D作DE⊥AC，垂足為E．

（1）證明：DE為⊙O的切線；

（2）若BC＝4，求DE的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】

（1）連接OD，由平行線的判定定理可得OD∥AC，利用平行線的性質得∠ODE＝∠DEA＝90°，可得DE為⊙O的切線；

（2）連接CD，由BC為直徑，利用圓周角定理可得∠ADC＝90°，由∠A＝30°，AC＝BC＝4，利用銳角三角函數可得DE．

（1）證明：連接OD，

∵OD＝OB，

∴∠ODB＝∠B，

∵AC＝BC，

∴∠A＝∠B，

∴∠ODB＝∠A，

∴OD∥AC，

∴∠ODE＝∠DEA＝90°，

∴DE為⊙O的切線；

（2）解：連接CD，

∵BC為直徑，

∴∠ADC＝90°，

∵∠A＝30°，

又∵AC＝BC＝4，

∴AD＝ACcos30°＝4×＝2，

∴DE＝AD＝．