Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣經過A（﹣1，0），B（5，0）兩點．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸上有一點P，使得PA+PC的值最小時，求△ABP的面積；

（3）點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以A，C，M，N四點構成的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣；（2）；（3）符合條件的點N的坐標為（4，﹣）、（2+，）或（2﹣，）．

【解析】分析：(1)、利用待定系數法求出函數解析式；(2)、連接BC，求出BC的函數解析式，直線BC與對稱軸的交點就是點P；(3)、分兩種情況求出點N的坐標，即點N在x軸下方和點N在x軸上方，根據兩種情況分別畫出圖形，從而得出答案．

詳解：（1）把A（﹣1，0），B（5，0）代入y=ax2+bx﹣，

得到，解得：， 即拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣；

（2）∵拋物線的解析式為：y=x2﹣2x﹣， ∴其對稱軸為直線x=﹣=2，

連接BC，如圖1所示， ∵B（5，0），C（0，﹣）， ∴設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），

∴，解得， ∴直線BC的解析式為y=x﹣，

當x=2時，y=1﹣=﹣， ∴P（2，﹣）， S△ABP=×6×=；

（3）存在，如圖2所示，

①當點N在x軸下方時， ∵拋物線的對稱軸為直線x=2，C（0，﹣）， ∴N1（4，﹣）；

②當點N在x軸上方時，過點N作ND垂直x軸于點D， 在△AND與△MCO中，

∠NAD=∠CMO，AN=CM, ∠AND=∠MCO， ∴△AND≌△MCO（ASA），

∴ND=OC=，即N點的縱坐標為， ∴x2﹣2x﹣=， 解得：x=2±，

∴N2（2+，），N3（2﹣，），

綜上所述，符合條件的點N的坐標為（4，﹣）、（2+，）或（2﹣，）．