Question

如圖，拋物線y=ax²+b與x軸交于點A、B，且A點的坐標為（1，0），與y軸交于點C（0，1）．

（1）求拋物線的解析式，并求出點B坐標；
（2）過點B作BD∥CA交拋物線于點D，連接BC、CA、AD，求四邊形ABCD的周長；（結果保留根號）
（3）在x軸上方的拋物線上是否存在點P，過點P作PE垂直于x軸，垂足為點E，使以B、P、E為頂點的三角形與△CBD相似？若存在請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵點A（1，0）和點C（0，1）在拋物線y=ax²+b上，
∴，解得：。
∴拋物線的解析式為：y=﹣x²+1。
∴拋物線的對稱軸為y軸。
∵點B與點A（1，0）關于y軸對稱，∴B（﹣1，0）。
（2）設過點A（1，0），C（0，1）的直線解析式為y=kx+b，可得：
，解得：。
∴過點A，C的直線解析式為y=﹣x+1。
∵BD∥CA，∴可設直線BD的解析式為y=﹣x+n。
∵點B（﹣1，0）在直線BD上，∴0=1+n，得n=﹣1。
∴直線BD的解析式為：y=﹣x﹣1。
將y=﹣x﹣1代入拋物線的解析式，得：﹣x﹣1=﹣x²+1，解得：x₁=2，x₂=﹣1。
∵B點橫坐標為﹣1，則D點橫坐標為2，∴D點縱坐標為y=﹣2﹣1=﹣3。
∴D點坐標為（2，﹣3）。
如圖①所示，過點D作DN⊥x軸于點N，

則DN=3，AN=1，BN=3，
在Rt△BDN中，BN=DN=3，
由勾股定理得：BD=。
在Rt△ADN中，DN=3，AN=1，
由勾股定理得：AD=。
又OA=OB=OC=1，OC⊥AB，
由勾股定理得：AC=BC=。
∴四邊形ABCD的周長為：AC+BC+BD+AD=+++=+。
（3）存在。
假設存在這樣的點P，則△BPE與△CBD相似有兩種情形：
（I）若△BPE∽△BDC，如圖②所示，

則有，即，∴PE=3BE。
設OE=m（m＞0），
則E（﹣m，0），BE=1﹣m，PE=3BE=3﹣3m，
∴點P的坐標為（﹣m，3﹣3m）。
∵點P在拋物線y=﹣x²+1上，
∴3﹣3m=﹣（﹣m）²+1，解得m=1或m=2。
當m=1時，點E與點B重合，故舍去；當m=2時，點E在OB左側，點P在x軸下方，不符合題意，故舍去。
因此，此種情況不存在。
（II）若△EBP∽△BDC，如圖③所示，

則有，即，∴BE=3PE。
設OE=m（m＞0），
則E（m，0），BE=1+m，，
∴點P的坐標為（m，）。
∵點P在拋物線y=﹣x²+1上，
∴，解得m=﹣1或m=。
∵m＞0，故m=﹣1舍去，∴m=。
點P的縱坐標為：。
∴點P的坐標為（，）。
綜上所述，存在點P，使以B、P、E為頂點的三角形與△CBD相似，點P的坐標為（，）。

解析試題分析：（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式，點B坐標可由對稱性質得到，或令y=0，由解析式得到。
（2）求出點D的坐標，然后利用勾股定理分別求出四邊形ABCD四個邊的長度。
（3）本問為存在型問題。先假設存在，然后按照題意條件求點P的坐標，如果能求出則點P存在，否則不存在．注意三角形相似有兩種情形，需要分類討論。