Question

將矩形OABC置于平面直角坐標系中，點A的坐標為（0，4），點C的坐標為（m，0）（m＞0），點D（m，1）在BC上，將矩形OABC沿AD折疊壓平，使點B落在坐標平面內，設點B的對應點為點E．

（1）當m=3時，點B的坐標為       ，點E的坐標為         ；
（2）隨著m的變化，試探索：點E能否恰好落在x軸上？若能，請求出m的值；若不能，請說明理由．
（3）如圖，若點E的縱坐標為－1，拋物線（a≠0且a為常數）的頂點落在△ADE的內部，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）點B的坐標為（3，4），點E的坐標為（0，1）。
（2）點E能恰好落在x軸上。理由如下：
∵四邊形OABC為矩形，∴BC=OA=4，∠AOC=∠DCE=90°。
由折疊的性質可得：DE=BD=OA-CD=4－1=3，AE=AB=OC=m。
如圖1，假設點E恰好落在x軸上，

在Rt△CDE中，由勾股定理可得
，
則有。
在Rt△AOE中，OA²+OE²=AE²，
即，解得。
（3）如圖2，過點E作EF⊥AB于F，EF分別與AD、OC交于點G、H，過點D作DP⊥EF于點P，則EP=PH+EH=DC+EH=2，

在Rt△PDE中，由勾股定理可得
，
∴BF=DP=。
在Rt△AEF中，AF=AB?BF=m?，EF=5，AE=m，
∵AF²+EF²=AE²，即，解得m=3。
∴AB＝3，AF＝2，E（2，－1）。
∵∠AFG=∠ABD=90°，∠FAG=∠BAD，∴△AFG∽△ABD。
∴，即，解得FG=2。∴EG=EF－FG=3。∴點G的縱坐標為2。
∵，
∴此拋物線的頂點必在直線x＝2上。
又∵拋物線的頂點落在△ADE的內部，
∴此拋物線的頂點必在EG上。
∴－1＜10－20a＜2，解得。
∴a的取值范圍為。

解析試題分析：（1）根據點A、點D、點C的坐標和矩形的性質可以得到點B和點E的坐標。
（2）由折疊的性質求得線段DE和AE的長，然后利用勾股定理得到有關m的方程，求得m的值即可。
（3）過點E作EF⊥AB于F，EF分別與 AD、OC交于點G、H，過點D作DP⊥EF于點P，首先利用勾股定理求得線段DP的長，從而求得線段BF的長，再利用△AFG∽△ABD得到比例線段求得線段FG的長，最后求得a的取值范圍。