Question

【題目】對于某一函數給出如下定義：若存在實數p，當其自變量的值為p時，其函數值等于p,則稱p為這個函數的不變值.在函數存在不變值時,該函數的最大不變值與最小不變值之差q稱為這個函數的不變長度.特別地,當函數只有一個不變值時,其不變長度q為零.例如：下圖中的函數有0,1兩個不變值,其不變長度q等于1.
（1）分別判斷函數y=x-1，y=x-1,y=x2有沒有不變值？如果有，直接寫出其不變長度；
（2）函數y=2x2-bx. ①若其不變長度為零，求b的值；
②若1≤b≤3,求其不變長度q的取值范圍；
（3）記函數y=x2-2x(x≥m)的圖象為G1 ， 將G1沿x=m翻折后得到的函數圖象記為G2 ， 函數G的圖象由G1和G2兩部分組成，若其不變長度q滿足0≤q≤3,則m的取值范圍為.

Answer 1

【答案】
（1）解：函數y=x-1沒有不變值；

∵函數 有-1和1兩個不變值，
∴其不變長度為2；

∵函數 有0和1兩個不變值，
∴其不變長度為1；

（2）解：① 函數y=2x2-bx的不變長度為0，

方程2x2-bx=x有兩個相等的實數根，
∴△=（b+1）2=0，

b=-1，

②∵2x2-bx=x，
∴ ，

1≤b≤3，

1≤ ≤2，

函數y=2x2-bx的不變長度的取值范圍為1≤q≤2.

（3）1≤m≤3或m<-
【解析】解（3）依題可得：函數G的圖像關于x=m對稱，
∴函數G：y=，
當x2-2x=x時，即x（x-3）=0，
∴x3=0，x4=3，
當（2m-x）2-2（2m-x）=x時，
即x2+（1-4m）x+（4m2-4m）=0，
∴△=（1-4m）2-4×（4m2-4m）=1+8m，
當△=1+8m0時，即m-，此方程無解，
∴q=x4-x3=3-0=3；
當△=1+8m 0時，即m -，此方程有解，
∴x5=，x6=，
①當-m0時，
∵x3=0，x4=3，
∴x60，
∴x4-x63（不符合題意，舍去），
②∵當x5=x4時，
∴m=1，
當x6=x3時，
∴m=3，
當0m1時，
x3=0（舍去），x4=3，
此時0x5x4，x60，
∴q=x4-x63（舍去）；
當1m3時，
x3=0（舍去），x4=3，
此時0x5x4，x60，
∴q=x4-x63（舍去）；
當m3時，
x3=0（舍去），x4=3（舍去），
此時x53，x60，
∴q=x5-x63（舍去）；
綜上所述：m的取值范圍為：1m3或m < -，

【考點精析】掌握求根公式是解答本題的根本，需要知道根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數根．