Question

【題目】如圖，直線與軸，軸分別相交于，兩點，與雙曲線（）相交于點，過作軸于點，，在點右側的雙曲線上取一點，作軸于，當以點，，為頂點的三角形與相似，則點的坐標是__________．

Answer 1

【答案】或

【解析】

先求出點A、點B的坐標，設點M的坐標為（m，n），分兩種情況：當△MCH∽△BAO和△MCH∽△ABO時，由相似得比例求出m的值，即可得出點M的坐標．

解：直線y=x+1與x軸，y軸分別相交于A，B兩點，

令x=0得y=1，令y=0得x=-2，

∴A（-2，0），B（0，1）．

設點M的坐標為（m，n），

∵點M在雙曲線上，

∴n=．

當△MCH∽△BAO時，

可得，

即，

∴m-2=2n，即m-2=，

∴m2-2m-8=0，

解得：m1=4，m2=-2（舍去），

∴n==1，

∴M（4，1）；

當△MCH∽△ABO時，

可得，

即

整理得：2m-4=，

∴m2-2m-2=0，

解得：m1=1+，m2=1-（舍去），

∴n==-2，

∴M（1+，-2）．

綜上，M（4，1）或M（1+，-2）．

故答案為：（4，1）或（1+，-2）．