Question

【題目】紅星公司生產(chǎn)的某種時令商品每件成本為20元，經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種商品在未來40天內(nèi)的日銷售量y1（件）與時間t（天）的關系如圖所示；未來40天內(nèi)，每天的價格y2（元/件）與時間t（天）的函數(shù)關系式為：y2＝（t為整數(shù)）；

（1）求日銷售量y1（件）與時間t（天）的函數(shù)關系式；

（2）請預測未來40天中哪一天的銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少？

（3）在實際銷售的前20天中該公司決定銷售一件商品就捐贈a元（a為定值）利潤給希望工程．公司通過銷售記錄發(fā)現(xiàn)，前20天中，第18天的時候，扣除捐贈后日銷售利潤為這20天中的最大值，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣2t+96；（2）第14天時，銷售利潤最大，為578元；（3）a＝2．

【解析】

（1）從表格可看出每天比前一天少銷售2件，所以判斷為一次函數(shù)關系式；

（2）日利潤＝日銷售量×每件利潤，據(jù)此分別表示前20天和后20天的日利潤，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求最大值后比較得結論；

（3）列式表示前20天中每天扣除捐贈后的日銷售利潤，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求a的取值．

解：（1）設一次函數(shù)為y＝kt+b，

將（30，36）和（10，76）代入一次函數(shù)y＝kt+b中，

有

解得：．

故所求函數(shù)解析式為y＝﹣2t+96；

（2）設前20天日銷售利潤為W1元，后20天日銷售利潤為W2元．

由W1＝（﹣2t+96）（t+25﹣20）

＝（﹣2t+96）（t+5）

＝﹣t2+14t+480

＝﹣（t﹣14）2+578，

∵1≤t≤20，

∴當t＝14時，W1有最大值578（元）．

由W2＝（﹣2t+96）（﹣t+40﹣20）

＝（﹣2t+96）（﹣t+20）

＝t2﹣88t+1920

＝（t﹣44）2﹣16．

∵21≤t≤40，此函數(shù)對稱軸是t＝44，

∴函數(shù)W2在21≤t≤40上，在對稱軸左側，隨t的增大而減小．

∴當t＝21時，W2有最大值為（21﹣44）2﹣16＝529﹣16＝513（元）．

∵578＞513，故第14天時，銷售利潤最大，為578元；

（3）由題意得：W＝（﹣2t+96）（t+25﹣20﹣a）（1≤t≤20），配方得：

W＝﹣ [t﹣2（a+7）]2+2（a﹣17）2（1≤t≤20）

∵a為定值，而t＝18時，W最大，

∴2（a+7）＝18，解得：a＝2