Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，以AB為直徑作⊙O分別交AC，BM于點(diǎn)D，E．
（1）求證：MD=ME；
（2）填空：
①若AB=6，當(dāng)AD=2DM時(shí)，DE=；
②連接OD，OE，當(dāng)∠A的度數(shù)為時(shí)，四邊形ODME是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵∠ABC=90°，AM=MC，

∴BM=AM=MC，

∴∠A=∠ABM，

∵四邊形ABED是圓內(nèi)接四邊形，

∴∠ADE+∠ABE=180°，

又∠ADE+∠MDE=180°，

∴∠MDE=∠MBA，

同理證明：∠MED=∠A，

∴∠MDE=∠MED，

∴MD=ME

（2）2；60°
【解析】①由（1）可知，∠A=∠MDE，
∴DE∥AB，
∴ ，
∵AD=2DM，
∴DM：MA=1：3，
∴DE= AB= ×6=2．
故答案為2．
②當(dāng)∠A=60°時(shí)，四邊形ODME是菱形．
理由：連接OD、OE，
∵OA=OD，∠A=60°，
∴△AOD是等邊三角形，
∴∠AOD=60°，
∵DE∥AB，
∴∠ODE=∠AOD=60°，∠MDE=∠MED=∠A=60°，
∴△ODE，△DEM都是等邊三角形，
∴OD=OE=EM=DM，
∴四邊形OEMD是菱形．
故答案為60°．

（1）先證明∠A=∠ABM，再證明∠MDE=∠MBA，∠MED=∠A即可解決問題．
（2）①由DE∥AB，得 = 即可解決問題．
②當(dāng)∠A=60°時(shí)，四邊形ODME是菱形，只要證明△ODE，△DEM都是等邊三角形即可．本題考查圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)、直角三角形斜邊中線性質(zhì)、菱形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問題，記住菱形的三種判定方法，屬于中考常考題型．