Question

【題目】根據要求回答問題

（1）發現：如圖1，點A為線段BC外一動點，且BC=a，AB=b．
當點A位于時，線段AC的長取得最大值，且最大值為（用含a，b的式子表示）
（2）應用：點A為線段BC外一動點，且BC=3，AB=1，如圖2所示，分別以AB，AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BE．
①請找出圖中與BE相等的線段，并說明理由；
②直接寫出線段BE長的最大值．

（3）拓展：如圖3，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（2，0），點B的坐標為（5，0），點P為線段AB外一動點，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，請直接寫出線段AM長的最大值及此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）CB的延長線上；a+b
（2）

解：①CD=BE，

理由：∵△ABD與△ACE是等邊三角形，

∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，

即∠CAD=∠EAB，

在△CAD與△EAB中， ，

∴△CAD≌△EAB，

∴CD=BE；

②∵線段BE長的最大值=線段CD的最大值，

由（1）知，當線段CD的長取得最大值時，點D在CB的延長線上，

∴最大值為BD+BC=AB+BC=4

（3）

解：

連接BM，將△APM繞著點P順時針旋轉90°得到△PBN，連接AN，

則△APN是等腰直角三角形，

∴PN=PA=2，BN=AM，

∵A的坐標為（2，0），點B的坐標為（5，0），

∴OA=2，OB=5，

∴AB=3，

∴線段AM長的最大值=線段BN長的最大值，

∴當N在線段BA的延長線時，線段BN取得最大值，

最大值=AB+AN，

∵AN= AP=2 ，

∴最大值為2 +3；

如圖2，過P作PE⊥x軸于E，

∵△APN是等腰直角三角形，

∴PE=AE= ，

∴OE=BO﹣ ﹣3=2﹣ ，

∴P（2﹣ ， ）

【解析】解：（1）
∵點A為線段BC外一動點，且BC=a，AB=b，
∴當點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，且最大值為BC+AB=a+b，
所以答案是：CB的延長線上，a+b；
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等腰直角三角形的相關知識，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°．