Question

【題目】已知二次函數的圖象經過A（2，0）、C（0，12）兩點，且對稱軸為直線x=4．設頂點為點P，與x軸的另一交點為點B．

（1）求二次函數的解析式及頂點P的坐標；
（2）如圖1，在直線 y=2x上是否存在點D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）如圖2，點M是線段OP上的一個動點（O、P兩點除外），以每秒 個單位長度的速度由點P向點O 運動，過點M作直線MN∥x軸，交PB于點N．將△PMN沿直線MN對折，得到△P1MN．在動點M的運動過程中，設△P1MN與梯形OMNB的重疊部分的面積為S，運動時間為t秒．求S關于t的函數關系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設二次函數的解析式為y=ax2+bx+c

由題意得 ，

解得 ，

∴二次函數的解析式為y=x2﹣8x+12，

點P的坐標為（4，﹣4）

（2）

解：方法一：

存在點D，使四邊形OPBD為等腰梯形．理由如下：

當y=0時，x2﹣8x+12=0，

∴x1=2，x2=6，

∴點B的坐標為（6，0），

設直線BP的解析式為y=kx+m

則 ，

解得

∴直線BP的解析式為y=2x﹣12

∴直線OD∥BP，

∵頂點坐標P（4，﹣4），

∴OP=4

設D（x，2x）則BD2=（2x）2+（6﹣x）2

當BD=OP時，（2x）2+（6﹣x）2=32，

解得：x1= ，x2=2，

當x2=2時，OD=BP= ，四邊形OPBD為平行四邊形，舍去，

∴當x= 時四邊形OPBD為等腰梯形，

∴當D（ ， ）時，四邊形OPBD為等腰梯形

方法二：

設D（t，2t），O（0，0），P（4，﹣4），B（6，0），

∴KBP= =2，KOD= =2，

∴KBP=KOD，

∴BP∥OD，

∵四邊形OPBD為等腰梯形，∴DB=OP，

（t﹣6）2+（2t﹣0）2=（4﹣0）2+（﹣4﹣0）2，

∴t1=2（舍），t2= ，∴D（ ， ）

（3）

解：方法一：

①當0＜t≤2時，

∵運動速度為每秒 個單位長度，運動時間為t秒，則MP= t，

∴PH=t，MH=t，HN= （4﹣t），

∴MN=MH+HN=2+ t，

∴S= t2；

②當2＜t＜4時，P1G=2t﹣4，P1H=t，

∵MN∥OB

∴△P1EF∽△P1MN，

∴ ，

∴ ，

∴ =3t2﹣12t+12，

∴S= t2﹣（3t2﹣12t+12）=﹣ t2+12t﹣12，

∴當0＜t≤2時，S= t2，

當2＜t＜4時，S=﹣ t2+12t﹣12

方法二：

O（0，0），P（4，﹣4），

∴lOP：y=﹣x，

∴M（4﹣t，t﹣4），

∵B（6，0），∴lBP：y=2x﹣12，

∴N（ ，t﹣4），

①當0＜t≤2時，S= = = ，

②當2＜t＜4時，

∵△PMN與△P′MN關于MN對稱，

∴KMP′+KMP=0，KNP′+KNP=0，

∴lMP′：y=x+2t﹣8，lNP′：y=﹣2x+2t+4，

∴D（8﹣2t，0），C（t+2，0），

∴S= （CD+MN）|MY|= =﹣ ．

【解析】（1）利用對稱軸公式，A、C兩點坐標，列方程組求a、b、c的值即可；（2）存在．由（1）可求直線PB解析式為y=2x﹣12，可知PB∥OD，利用BD=PO，列方程求解，注意排除平行四邊形的情形；（3）由P（4，﹣4）可知直線OP解析式為y=﹣x，當P1落在x軸上時，M、N的縱坐標為﹣2，此時t=2，按照0＜t≤2，2＜t＜4兩種情形，分別表示重合部分面積．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．