Question

【題目】如圖，已知△ABC，△DCE，△FEG是三個全等的等腰三角形，底邊BC，CE，EG在同一直線上，且AB= ，BC=1，連結BF，分別交AC，DC，DE于點P，Q，R．

（1）求證：△BFG∽△FEG，并求出BF的長；
（2）求AP：PC的值；
（3）觀察圖形，請你提出一個與點P相關的問題，并進行解答．（根據提出問題的層次和解答過程平分）

Answer 1

【答案】
（1）

證明：據題意知BC=CE=EG=1，BG=3，FG=AB= ，

在△BFG和△FEG中，

∵ = ，∠G=∠G

∴△BFG∽△FEG；

（2）

解：∵△ABC≌△FEG，

∴∠ACB=∠G，

∴PC∥FG，

∴△BPC～△BFG，

∴ ，即 = ，

解得：PC= ，

∵AC=AB= ，

∴AP=AC﹣PC= ，

∴ = =2．

（3）

求證：∠PCB=∠REB，②求證：PC∥RE，答案不唯一．

證明：∵△ABC≌△DCE，

∴∠PCB=∠REB，

∴PC∥RE．

【解析】（1）已知三個全等的等腰三角形，以及邊長，所以可求得各線段的長，即可求得線段的比值，由公共角即可證得△BFG∽△FEG；（2）利用△BPC～△BFG求得PC的長，進而可知AP的長，即可得答案．（3）可以提問求證：∠PCB=∠REC，這個問題只需要運用兩直線平行，同位角相等進行解答．此題為發散性題型，不唯一．
【考點精析】本題主要考查了平行線的性質和相似三角形的判定的相關知識點，需要掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補；相似三角形的判定方法:兩角對應相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似； 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS）才能正確解答此題．