Question

（1）如圖1所示，在四邊形ABCD中，AC=BD，AC與BD相交于點O，E，F(xiàn)分別是AD、BC的中點，連接EF，分別交AC、BD于點M，N，試判斷△OMN的形狀，并加以證明；（提示：利用三角形中位線定理）
（2）如圖2，在四邊形ABCD中，若AB=CD，E，F(xiàn)分別是AD、BC的中點，連接FE并延長，分別與BA，CD的延長線交于點M，N，請在圖2中畫圖并觀察，圖中是否有相等的角？若有，請直接寫出結(jié)論：

 

；
（3）如圖3，在△ABC中，AC＞AB，點D在AC上，AB=CD，E，F(xiàn)分別是AD、BC的中點，連接FE并延長，與BA的延長線交于點M，若∠FEC=45°，判斷點M與以AD為直徑的圓的位置關(guān)系，并簡要說明理由．

Answer 1

分析：（1）先得出結(jié)論，再進行證明，取AB的中點H，連接HF，HE，根據(jù)已知條件，求得∠FMC=∠HFE，同理可得∠END=∠HEF，由AC=BD，從而得出∠END=∠FMC，則△OMN是等腰三角形；
（2）連接AC、BD，取AC、BD的中點H、G；
連接EG、GF、FH、EH；首先證四邊形EGFH是菱形（利用三角形中位線定理證四邊相等）
然后根據(jù)菱形對角線平分對角，得到∠GEF=∠HEF；
易知EG∥BM，HE∥CN，∴∠GEF=∠BMF，∠CNF=∠HEF，∴∠BMF=∠CNF．
（3）得結(jié)論：點M在以AD為直徑的圓外，
由上面一題得，∠M=∠AEM=45°，根據(jù)直角三角形的斜邊大于直角邊，得ME＞AE，從而得出結(jié)論．

解答：解：（1）結(jié)論：△OMN是等腰三角形（1分）
證明：如圖1，取AB的中點H，連接HF，HE
∵E、F分別是AD、BC的中點，
∴HF∥AC，HF=

1

2

AC（2分）
∴∠FMC=∠HFE；
同理，HE∥BD，HE=

1

2

BD，
∴∠END=∠HEF；
又∵AC=BD，
∴HF=HE，
∴∠HEF=∠HFE，
∴∠END=∠FMC，（3分）
∴△OMN是等腰三角形．

（2）正確畫圖（如圖2）（4分）
連接AC、BD，取AC、BD的中點H、G；
連接EG、GF、FH、EH；
∵E，F(xiàn)分別是AD、BC的中點，
∴EG=

1

2

AB，GF=

1

2

CD，F(xiàn)H=

1

2

AB，EH=

1

2

CD，
∵AB=CD，
∴EG=GF=FH=EH，
∴四邊形EGFH是菱形．
∴∠GEF=∠HEF；
∵EG∥BM，
∴∠GEF=∠BMF，
∵HE∥CN，
∴∠CNF=∠HEF，
∴∠BMF=∠CNF．（5分）

（3）點M在以AD為直徑的圓外（6分）
證明：如圖3，由（2）的結(jié)論，∠M=∠FEC，
∵∠AEM=∠DEF，
∴∠M=∠DEF=45°，
∴∠MAD=90°
∴ME＞AE，
又∵E是AD中點，
∴點M在以AD為直徑的圓外．（7分）

點評：本題考查的知識點：三角形中位線定理，菱形對角線平分對角，是一道綜合性的題目，難度較大，不容易掌握．