Question

【題目】如圖，⊙O是以AB為直徑的△ABC的外接圓，點D是劣弧的中點，連結AD并延長，與過C點的直線交于P，OD與BC相交于點E．

（1）求證：OE＝AC；

（2）連接CD，若∠PCD＝∠PAC，試判斷直線PC與⊙O的位置關系，并說明理由．

（3）在（2）的條件下，當AC＝6，AB＝10時，求切線PC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）PC為⊙O的切線，理由見解析；（3）PC=15．

【解析】

（1）利用垂徑定理證明 再證明，利用三角形中位線定理可得結論；（2）連接CO，DC，證明∠OCP＝∠OBC+∠BAC，即可得到結論；

（3）先分別求解 再證明△PCD∽△PAC，從而可得答案．

（1）證明：∵AB為直徑

∴∠ACB＝90°，

∴AC⊥BC，

又∵D為中點，

∴OD⊥BC，OD∥AC，

又∵O為AB中點，

∴OE＝AC；

（2）解：PC為⊙O的切線，

理由：連接CO，DC，

∵CO＝OB，

∴∠OCB＝∠OBC，

∵∠BCD＝∠BAD，∠PCD＝∠PAC，

∴∠OCB+∠BCD+∠PCD

＝∠OBC+∠BAD+∠PAC，

∴∠OCP＝∠OBC+∠BAC，

又∵AB為⊙O的直徑，

∴∠OBC+∠BAC＝90°，

∴∠OCP＝90°，

即PC為⊙O的切線；

（3）解：

由（1）可知，

OE＝3，BE＝4，DE＝2，

在Rt△BED和Rt△ABD中，

由勾股定理得：BD＝2，

AD＝4，

∵點D是劣弧的中點，

∴CD＝2，

∵∠P是△PCD和△PAC的公共角，

由∠PCD＝∠PAC，

則△PCD∽△PAC，

∴，

∴PC2＝PDAP，

即，

∴PC＝，

∴，

解得：PD＝，

∴PC＝