Question

如圖，將腰長為

5

的等腰Rt△ABC（∠C是直角）放在平面直角坐標系中的第二象限，其中點A在y軸上，點B在拋物線y=ax²+ax-2上，點C的坐標為（-1，0）．
（1）點A的坐標為______，點B的坐標為______；
（2）拋物線的關系式為______，其頂點坐標為______；
（3）將三角板ABC繞頂點A逆時針方向旋轉90°，到達△AB′C′的位置．請判斷點B′、C′是否在（2）中的拋物線上，并說明理由．

Answer 1

（1）過B作BE⊥x軸于E；
在Rt△AOC中，AC=

5

，OC=1，則OA=2；
故A（0，2）；
由于△ACB是等腰直角三角形，則AC=BC，∠ACB=90°；
∴∠BCE=∠CAO=90°-∠ACO，
∴△BCE≌△CAO，
則CE=OA=2，BE=CO=1，
故B（-3，1）；
∴A（0，2），B（-3，1）．（2分）

（2）由于拋物線經過點B（-3，1），則有：
9a-3a-2=1，a=

1

2

；
∴解析式為y=

1

2

x2+

1

2

x-2；（3分）
由于y=

1

2

x2+

1

2

x-2=

1

2

(x+

1

2

)2-

17

8

，
故拋物線的頂點為（-

1

2

，-

17

8

）．（4分）

（3）如圖，過點B′作B′M⊥y軸于點M，過點B作BN⊥y軸于點N，過點C′作CP⊥y軸于點P；
在Rt△AB′M與Rt△BAN中，
∵AB=AB′，∠AB′M=∠BAN=90°-∠B′AM，
∴Rt△AB′M≌Rt△BAN．
∴B′M=AN=1，AM=BN=3，
∴B′（1，-1）；
同理△AC′P≌△CAO，C′P=OA=2，AP=OC=1，
可得點C′（2，1）；
將點B′、C′的坐標代入y=

1

2

x2+

1

2

x-2，
可知點B′、C′在拋物線上．（7分）
（事實上，點P與點N重合）